Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30201 / 20243
↖ ↑ ↗
← N 56.501924°
W 14.100952°		 ← 337.10 m → N 56.501924°
W 14.095459°		 →
↑
337.15 m
↓
↑
337.15 m
↓
N 56.498891°
W 14.100952°		 ← 337.13 m →
113 659 m²		 N 56.498891°
W 14.095459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460838317871094 y=0.308891296386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460838317871094 × 216)
    floor (0.460838317871094 × 65536)
    floor (30201.5)     		tx = 30201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308891296386719 × 216)
    floor (0.308891296386719 × 65536)
    floor (20243.5)     		ty = 20243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30201 / 20243 ti = "16/30201/20243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30201/20243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30201 ÷ 216
    30201 ÷ 65536     		x = 0.460830688476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20243 ÷ 216
    20243 ÷ 65536     		y = 0.308883666992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460830688476562 × 2 - 1) × π
    -0.078338623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24610804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308883666992188 × 2 - 1) × π
    0.382232666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.20081933548241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24610804} λ = -0.24610804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20081933548241))-π/2
    2×atan(3.3228383270564)-π/2
    2×1.278470462045-π/2
    2.55694092409-1.57079632675     		φ = 0.98614460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24610804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.100952°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98614460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.501924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30201 KachelY 20243 -0.24610804 0.98614460 -14.100952 56.501924
    Oben rechts KachelX + 1 30202 KachelY 20243 -0.24601217 0.98614460 -14.095459 56.501924
    Unten links KachelX 30201 KachelY + 1 20244 -0.24610804 0.98609168 -14.100952 56.498891
    Unten rechts KachelX + 1 30202 KachelY + 1 20244 -0.24601217 0.98609168 -14.095459 56.498891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98614460-0.98609168) × R
    5.29200000000118e-05 × 6371000     		dl = 337.153320000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98614460-0.98609168) × R
    5.29200000000118e-05 × 6371000     		dr = 337.153320000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24610804--0.24601217) × cos(0.98614460) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.551908989266514 × 6371000     		do = 337.099260797041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24610804--0.24601217) × cos(0.98609168) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.551953118711961 × 6371000     		du = 337.126214522617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98614460)-sin(0.98609168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551908989266514-0.551953118711961)×R²
    abs(-0.24601217--0.24610804)×4.41294454467389e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.41294454467389e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.41294454467389e-05×40589641000000     		ar = 113658.678742549m²