Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30200 / 20419
↖ ↑ ↗
← N 55.964576°
W 14.106446°		 ← 341.90 m → N 55.964576°
W 14.100952°		 →
↑
341.87 m
↓
↑
341.87 m
↓
N 55.961501°
W 14.106446°		 ← 341.92 m →
116 888 m²		 N 55.961501°
W 14.100952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460823059082031 y=0.311576843261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460823059082031 × 216)
    floor (0.460823059082031 × 65536)
    floor (30200.5)     		tx = 30200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311576843261719 × 216)
    floor (0.311576843261719 × 65536)
    floor (20419.5)     		ty = 20419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30200 / 20419 ti = "16/30200/20419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30200/20419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30200 ÷ 216
    30200 ÷ 65536     		x = 0.4608154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20419 ÷ 216
    20419 ÷ 65536     		y = 0.311569213867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4608154296875 × 2 - 1) × π
    -0.078369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24620392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311569213867188 × 2 - 1) × π
    0.376861572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.18394554681615
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24620392} λ = -0.24620392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18394554681615))-π/2
    2×atan(3.2672398529865)-π/2
    2×1.27378121812289-π/2
    2.54756243624577-1.57079632675     		φ = 0.97676611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24620392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.106446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97676611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.964576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30200 KachelY 20419 -0.24620392 0.97676611 -14.106446 55.964576
    Oben rechts KachelX + 1 30201 KachelY 20419 -0.24610804 0.97676611 -14.100952 55.964576
    Unten links KachelX 30200 KachelY + 1 20420 -0.24620392 0.97671245 -14.106446 55.961501
    Unten rechts KachelX + 1 30201 KachelY + 1 20420 -0.24610804 0.97671245 -14.100952 55.961501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97676611-0.97671245) × R
    5.36600000000664e-05 × 6371000     		dl = 341.867860000423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97676611-0.97671245) × R
    5.36600000000664e-05 × 6371000     		dr = 341.867860000423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24620392--0.24610804) × cos(0.97676611) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.559705366545659 × 6371000     		do = 341.896851518332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24620392--0.24610804) × cos(0.97671245) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.55974983333545 × 6371000     		du = 341.924014122687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97676611)-sin(0.97671245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559705366545659-0.55974983333545)×R²
    abs(-0.24610804--0.24620392)×4.44667897907536e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.44667897907536e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.44667897907536e-05×40589641000000     		ar = 116888.188008477m²