Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30200 / 20264
↖ ↑ ↗
← N 56.438204°
W 14.106446°		 ← 337.70 m → N 56.438204°
W 14.100952°		 →
↑
337.73 m
↓
↑
337.73 m
↓
N 56.435167°
W 14.106446°		 ← 337.73 m →
114 055 m²		 N 56.435167°
W 14.100952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460823059082031 y=0.309211730957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460823059082031 × 216)
    floor (0.460823059082031 × 65536)
    floor (30200.5)     		tx = 30200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309211730957031 × 216)
    floor (0.309211730957031 × 65536)
    floor (20264.5)     		ty = 20264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30200 / 20264 ti = "16/30200/20264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30200/20264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30200 ÷ 216
    30200 ÷ 65536     		x = 0.4608154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20264 ÷ 216
    20264 ÷ 65536     		y = 0.3092041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4608154296875 × 2 - 1) × π
    -0.078369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24620392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3092041015625 × 2 - 1) × π
    0.381591796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.19880598569836
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24620392} λ = -0.24620392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19880598569836))-π/2
    2×atan(3.31615502140182)-π/2
    2×1.27791440257009-π/2
    2.55582880514018-1.57079632675     		φ = 0.98503248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24620392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.106446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98503248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.438204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30200 KachelY 20264 -0.24620392 0.98503248 -14.106446 56.438204
    Oben rechts KachelX + 1 30201 KachelY 20264 -0.24610804 0.98503248 -14.100952 56.438204
    Unten links KachelX 30200 KachelY + 1 20265 -0.24620392 0.98497947 -14.106446 56.435167
    Unten rechts KachelX + 1 30201 KachelY + 1 20265 -0.24610804 0.98497947 -14.100952 56.435167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98503248-0.98497947) × R
    5.301000000002e-05 × 6371000     		dl = 337.726710000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98503248-0.98497947) × R
    5.301000000002e-05 × 6371000     		dr = 337.726710000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24620392--0.24610804) × cos(0.98503248) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.552836049479322 × 6371000     		do = 337.700719021771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24620392--0.24610804) × cos(0.98497947) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.55288022140794 × 6371000     		du = 337.727701509742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98503248)-sin(0.98497947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552836049479322-0.55288022140794)×R²
    abs(-0.24610804--0.24620392)×4.41719286184972e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.41719286184972e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.41719286184972e-05×40589641000000     		ar = 114055.109180194m²