Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 302 / 234
↖ ↑ ↗
← N 15.284185°
E 32.343750°		 ← 75.419 km → N 15.284185°
E 33.046875°		 →
↑
75.539 km
↓
↑
75.539 km
↓
N 14.604847°
E 32.343750°		 ← 75.658 km →
5 706.14 km²		 N 14.604847°
E 33.046875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5908203125 y=0.4580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5908203125 × 29)
    floor (0.5908203125 × 512)
    floor (302.5)     		tx = 302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4580078125 × 29)
    floor (0.4580078125 × 512)
    floor (234.5)     		ty = 234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 302 / 234 ti = "9/302/234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/302/234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 302 ÷ 29
    302 ÷ 512     		x = 0.58984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 234 ÷ 29
    234 ÷ 512     		y = 0.45703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58984375 × 2 - 1) × π
    0.1796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.56450493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45703125 × 2 - 1) × π
    0.0859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.269980618660156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56450493} λ = 0.56450493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.269980618660156))-π/2
    2×atan(1.30993906211308)-π/2
    2×0.918777840256196-π/2
    1.83755568051239-1.57079632675     		φ = 0.26675935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56450493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.343750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26675935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.284185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 302 KachelY 234 0.56450493 0.26675935 32.343750 15.284185
    Oben rechts KachelX + 1 303 KachelY 234 0.57677678 0.26675935 33.046875 15.284185
    Unten links KachelX 302 KachelY + 1 235 0.56450493 0.25490267 32.343750 14.604847
    Unten rechts KachelX + 1 303 KachelY + 1 235 0.57677678 0.25490267 33.046875 14.604847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26675935-0.25490267) × R
    0.01185668 × 6371000     		dl = 75538.90828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26675935-0.25490267) × R
    0.01185668 × 6371000     		dr = 75538.90828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56450493-0.57677678) × cos(0.26675935) × R
    0.01227185 × 0.964630217417108 × 6371000     		do = 75418.60681243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56450493-0.57677678) × cos(0.25490267) × R
    0.01227185 × 0.96768784215076 × 6371000     		du = 75657.6640111405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26675935)-sin(0.25490267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964630217417108-0.96768784215076)×R²
    abs(0.57677678-0.56450493)×0.00305762473365156×R²
    0.01227185×0.00305762473365156×6371000²
    0.01227185×0.00305762473365156×40589641000000     		ar = 5706135130.45198m²