Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30199 / 42007
↖ ↑ ↗
← S 45.178165°
W 14.111938°		 ← 430.55 m → S 45.178165°
W 14.106446°		 →
↑
430.55 m
↓
↑
430.55 m
↓
S 45.182037°
W 14.111938°		 ← 430.52 m →
185 367 m²		 S 45.182037°
W 14.106446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460807800292969 y=0.640983581542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460807800292969 × 216)
    floor (0.460807800292969 × 65536)
    floor (30199.5)     		tx = 30199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640983581542969 × 216)
    floor (0.640983581542969 × 65536)
    floor (42007.5)     		ty = 42007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30199 / 42007 ti = "16/30199/42007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30199/42007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30199 ÷ 216
    30199 ÷ 65536     		x = 0.460800170898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42007 ÷ 216
    42007 ÷ 65536     		y = 0.640975952148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460800170898438 × 2 - 1) × π
    -0.078399658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24629979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640975952148438 × 2 - 1) × π
    -0.281951904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.885778031179398
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24629979} λ = -0.24629979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.885778031179398))-π/2
    2×atan(0.412393193666324)-π/2
    2×0.391144300415548-π/2
    0.782288600831096-1.57079632675     		φ = -0.78850773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24629979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.111938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78850773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.178165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30199 KachelY 42007 -0.24629979 -0.78850773 -14.111938 -45.178165
    Oben rechts KachelX + 1 30200 KachelY 42007 -0.24620392 -0.78850773 -14.106446 -45.178165
    Unten links KachelX 30199 KachelY + 1 42008 -0.24629979 -0.78857531 -14.111938 -45.182037
    Unten rechts KachelX + 1 30200 KachelY + 1 42008 -0.24620392 -0.78857531 -14.106446 -45.182037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78850773--0.78857531) × R
    6.7580000000067e-05 × 6371000     		dl = 430.552180000427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78850773--0.78857531) × R
    6.7580000000067e-05 × 6371000     		dr = 430.552180000427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24629979--0.24620392) × cos(-0.78850773) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.704904570450862 × 6371000     		do = 430.547090648481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24629979--0.24620392) × cos(-0.78857531) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.704856634201619 × 6371000     		du = 430.517811773703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78850773)-sin(-0.78857531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704904570450862-0.704856634201619)×R²
    abs(-0.24620392--0.24629979)×4.79362492427082e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79362492427082e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79362492427082e-05×40589641000000     		ar = 185366.685500621m²