Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30199 / 20262
↖ ↑ ↗
← N 56.444277°
W 14.111938°		 ← 337.61 m → N 56.444277°
W 14.106446°		 →
↑
337.60 m
↓
↑
337.60 m
↓
N 56.441240°
W 14.111938°		 ← 337.64 m →
113 982 m²		 N 56.441240°
W 14.106446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460807800292969 y=0.309181213378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460807800292969 × 216)
    floor (0.460807800292969 × 65536)
    floor (30199.5)     		tx = 30199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309181213378906 × 216)
    floor (0.309181213378906 × 65536)
    floor (20262.5)     		ty = 20262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30199 / 20262 ti = "16/30199/20262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30199/20262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30199 ÷ 216
    30199 ÷ 65536     		x = 0.460800170898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20262 ÷ 216
    20262 ÷ 65536     		y = 0.309173583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460800170898438 × 2 - 1) × π
    -0.078399658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24629979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309173583984375 × 2 - 1) × π
    0.38165283203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.19899773329684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24629979} λ = -0.24629979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19899773329684))-π/2
    2×atan(3.31679094713003)-π/2
    2×1.27796740082836-π/2
    2.55593480165673-1.57079632675     		φ = 0.98513847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24629979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.111938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98513847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.444277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30199 KachelY 20262 -0.24629979 0.98513847 -14.111938 56.444277
    Oben rechts KachelX + 1 30200 KachelY 20262 -0.24620392 0.98513847 -14.106446 56.444277
    Unten links KachelX 30199 KachelY + 1 20263 -0.24629979 0.98508548 -14.111938 56.441240
    Unten rechts KachelX + 1 30200 KachelY + 1 20263 -0.24620392 0.98508548 -14.106446 56.441240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98513847-0.98508548) × R
    5.29900000000305e-05 × 6371000     		dl = 337.599290000194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98513847-0.98508548) × R
    5.29900000000305e-05 × 6371000     		dr = 337.599290000194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24629979--0.24620392) × cos(0.98513847) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.552747725962161 × 6371000     		do = 337.611550912992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24629979--0.24620392) × cos(0.98508548) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.552791884330394 × 6371000     		du = 337.638522304252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98513847)-sin(0.98508548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552747725962161-0.552791884330394)×R²
    abs(-0.24620392--0.24629979)×4.41583682335711e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.41583682335711e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.41583682335711e-05×40589641000000     		ar = 113981.972671672m²