Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30199 / 19991
↖ ↑ ↗
← N 57.258252°
W 14.111938°		 ← 330.35 m → N 57.258252°
W 14.106446°		 →
↑
330.40 m
↓
↑
330.40 m
↓
N 57.255281°
W 14.111938°		 ← 330.37 m →
109 151 m²		 N 57.255281°
W 14.106446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460807800292969 y=0.305046081542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460807800292969 × 216)
    floor (0.460807800292969 × 65536)
    floor (30199.5)     		tx = 30199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305046081542969 × 216)
    floor (0.305046081542969 × 65536)
    floor (19991.5)     		ty = 19991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30199 / 19991 ti = "16/30199/19991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30199/19991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30199 ÷ 216
    30199 ÷ 65536     		x = 0.460800170898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19991 ÷ 216
    19991 ÷ 65536     		y = 0.305038452148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460800170898438 × 2 - 1) × π
    -0.078399658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24629979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305038452148438 × 2 - 1) × π
    0.389923095703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.22497953289091
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24629979} λ = -0.24629979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22497953289091))-π/2
    2×atan(3.40409641006526)-π/2
    2×1.28507067109984-π/2
    2.57014134219969-1.57079632675     		φ = 0.99934502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24629979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.111938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99934502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.258252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30199 KachelY 19991 -0.24629979 0.99934502 -14.111938 57.258252
    Oben rechts KachelX + 1 30200 KachelY 19991 -0.24620392 0.99934502 -14.106446 57.258252
    Unten links KachelX 30199 KachelY + 1 19992 -0.24629979 0.99929316 -14.111938 57.255281
    Unten rechts KachelX + 1 30200 KachelY + 1 19992 -0.24620392 0.99929316 -14.106446 57.255281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99934502-0.99929316) × R
    5.18600000000147e-05 × 6371000     		dl = 330.400060000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99934502-0.99929316) × R
    5.18600000000147e-05 × 6371000     		dr = 330.400060000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24629979--0.24620392) × cos(0.99934502) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.540853336599846 × 6371000     		do = 330.346603358872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24629979--0.24620392) × cos(0.99929316) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.540896956195847 × 6371000     		du = 330.373245674642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99934502)-sin(0.99929316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540853336599846-0.540896956195847)×R²
    abs(-0.24620392--0.24629979)×4.36195960014096e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.36195960014096e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.36195960014096e-05×40589641000000     		ar = 109150.93890654m²