Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30198 / 39402
↖ ↑ ↗
← S 34.207259°
W 14.117431°		 ← 505.13 m → S 34.207259°
W 14.111938°		 →
↑
505.16 m
↓
↑
505.16 m
↓
S 34.211802°
W 14.117431°		 ← 505.10 m →
255 161 m²		 S 34.211802°
W 14.111938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460792541503906 y=0.601234436035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460792541503906 × 216)
    floor (0.460792541503906 × 65536)
    floor (30198.5)     		tx = 30198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601234436035156 × 216)
    floor (0.601234436035156 × 65536)
    floor (39402.5)     		ty = 39402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30198 / 39402 ti = "16/30198/39402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30198/39402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30198 ÷ 216
    30198 ÷ 65536     		x = 0.460784912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39402 ÷ 216
    39402 ÷ 65536     		y = 0.601226806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460784912109375 × 2 - 1) × π
    -0.07843017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24639566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.601226806640625 × 2 - 1) × π
    -0.20245361328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.636026784158905
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24639566} λ = -0.24639566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.636026784158905))-π/2
    2×atan(0.529391638209042)-π/2
    2×0.486883511254524-π/2
    0.973767022509048-1.57079632675     		φ = -0.59702930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24639566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.117431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59702930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.207259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30198 KachelY 39402 -0.24639566 -0.59702930 -14.117431 -34.207259
    Oben rechts KachelX + 1 30199 KachelY 39402 -0.24629979 -0.59702930 -14.111938 -34.207259
    Unten links KachelX 30198 KachelY + 1 39403 -0.24639566 -0.59710859 -14.117431 -34.211802
    Unten rechts KachelX + 1 30199 KachelY + 1 39403 -0.24629979 -0.59710859 -14.111938 -34.211802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59702930--0.59710859) × R
    7.92900000000651e-05 × 6371000     		dl = 505.156590000415m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59702930--0.59710859) × R
    7.92900000000651e-05 × 6371000     		dr = 505.156590000415m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24639566--0.24629979) × cos(-0.59702930) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.827009354023367 × 6371000     		do = 505.127199113062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24639566--0.24629979) × cos(-0.59710859) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.826964775524464 × 6371000     		du = 505.099971111127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59702930)-sin(-0.59710859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.827009354023367-0.826964775524464)×R²
    abs(-0.24629979--0.24639566)×4.45784989024922e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.45784989024922e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.45784989024922e-05×40589641000000     		ar = 255161.456351495m²