Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30197 / 39401
↖ ↑ ↗
← S 34.202716°
W 14.122925°		 ← 505.21 m → S 34.202716°
W 14.117431°		 →
↑
505.16 m
↓
↑
505.16 m
↓
S 34.207259°
W 14.122925°		 ← 505.18 m →
255 202 m²		 S 34.207259°
W 14.117431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460777282714844 y=0.601219177246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460777282714844 × 216)
    floor (0.460777282714844 × 65536)
    floor (30197.5)     		tx = 30197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601219177246094 × 216)
    floor (0.601219177246094 × 65536)
    floor (39401.5)     		ty = 39401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30197 / 39401 ti = "16/30197/39401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30197/39401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30197 ÷ 216
    30197 ÷ 65536     		x = 0.460769653320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39401 ÷ 216
    39401 ÷ 65536     		y = 0.601211547851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460769653320312 × 2 - 1) × π
    -0.078460693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24649154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.601211547851562 × 2 - 1) × π
    -0.202423095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.635930910359665
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24649154} λ = -0.24649154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.635930910359665))-π/2
    2×atan(0.529442395429788)-π/2
    2×0.48692315658717-π/2
    0.97384631317434-1.57079632675     		φ = -0.59695001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24649154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.122925°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59695001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.202716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30197 KachelY 39401 -0.24649154 -0.59695001 -14.122925 -34.202716
    Oben rechts KachelX + 1 30198 KachelY 39401 -0.24639566 -0.59695001 -14.117431 -34.202716
    Unten links KachelX 30197 KachelY + 1 39402 -0.24649154 -0.59702930 -14.122925 -34.207259
    Unten rechts KachelX + 1 30198 KachelY + 1 39402 -0.24639566 -0.59702930 -14.117431 -34.207259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59695001--0.59702930) × R
    7.92899999999541e-05 × 6371000     		dl = 505.156589999708m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59695001--0.59702930) × R
    7.92899999999541e-05 × 6371000     		dr = 505.156589999708m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24649154--0.24639566) × cos(-0.59695001) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.827053927322941 × 6371000     		do = 505.207115545138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24649154--0.24639566) × cos(-0.59702930) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.827009354023367 × 6371000     		du = 505.179887879125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59695001)-sin(-0.59702930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.827053927322941-0.827009354023367)×R²
    abs(-0.24639566--0.24649154)×4.45732995739689e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.45732995739689e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.45732995739689e-05×40589641000000     		ar = 255201.826748812m²