Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30197 / 30029
↖ ↑ ↗
← S 81.642137°
E151.754151°		 ← 177.57 m → S 81.642137°
E151.765137°		 →
↑
177.56 m
↓
↑
177.56 m
↓
S 81.643734°
E151.754151°		 ← 177.54 m →
31 527 m²		 S 81.643734°
E151.765137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.921554565429688 y=0.916427612304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.921554565429688 × 215)
    floor (0.921554565429688 × 32768)
    floor (30197.5)     		tx = 30197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916427612304688 × 215)
    floor (0.916427612304688 × 32768)
    floor (30029.5)     		ty = 30029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30197 / 30029 ti = "15/30197/30029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30197/30029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30197 ÷ 215
    30197 ÷ 32768     		x = 0.921539306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30029 ÷ 215
    30029 ÷ 32768     		y = 0.916412353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.921539306640625 × 2 - 1) × π
    0.84307861328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.64860958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916412353515625 × 2 - 1) × π
    -0.83282470703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.61639598126266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.64860958} λ = 2.64860958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61639598126266))-π/2
    2×atan(0.0730657190941337)-π/2
    2×0.0729361111307483-π/2
    0.145872222261497-1.57079632675     		φ = -1.42492410
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.64860958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.754151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42492410 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.642137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30197 KachelY 30029 2.64860958 -1.42492410 151.754151 -81.642137
    Oben rechts KachelX + 1 30198 KachelY 30029 2.64880133 -1.42492410 151.765137 -81.642137
    Unten links KachelX 30197 KachelY + 1 30030 2.64860958 -1.42495197 151.754151 -81.643734
    Unten rechts KachelX + 1 30198 KachelY + 1 30030 2.64880133 -1.42495197 151.765137 -81.643734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42492410--1.42495197) × R
    2.78700000000409e-05 × 6371000     		dl = 177.559770000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42492410--1.42495197) × R
    2.78700000000409e-05 × 6371000     		dr = 177.559770000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.64860958-2.64880133) × cos(-1.42492410) × R
    0.000191749999999935 × 0.14535544820246 × 6371000     		do = 177.571920725407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.64860958-2.64880133) × cos(-1.42495197) × R
    0.000191749999999935 × 0.145327874139366 × 6371000     		du = 177.53823516765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42492410)-sin(-1.42495197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14535544820246-0.145327874139366)×R²
    abs(2.64880133-2.64860958)×2.75740630940324e-05×R²
    0.000191749999999935×2.75740630940324e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.75740630940324e-05×40589641000000     		ar = 31526.6388044208m²