Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30195 / 20396
↖ ↑ ↗
← N 56.035226°
W 14.133911°		 ← 341.27 m → N 56.035226°
W 14.128418°		 →
↑
341.29 m
↓
↑
341.29 m
↓
N 56.032157°
W 14.133911°		 ← 341.30 m →
116 479 m²		 N 56.032157°
W 14.128418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460746765136719 y=0.311225891113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460746765136719 × 216)
    floor (0.460746765136719 × 65536)
    floor (30195.5)     		tx = 30195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311225891113281 × 216)
    floor (0.311225891113281 × 65536)
    floor (20396.5)     		ty = 20396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30195 / 20396 ti = "16/30195/20396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30195/20396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30195 ÷ 216
    30195 ÷ 65536     		x = 0.460739135742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20396 ÷ 216
    20396 ÷ 65536     		y = 0.31121826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460739135742188 × 2 - 1) × π
    -0.078521728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24668329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31121826171875 × 2 - 1) × π
    0.3775634765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.18615064419867
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24668329} λ = -0.24668329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18615064419867))-π/2
    2×atan(3.27445238427878)-π/2
    2×1.27439775689996-π/2
    2.54879551379992-1.57079632675     		φ = 0.97799919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24668329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.133911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97799919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.035226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30195 KachelY 20396 -0.24668329 0.97799919 -14.133911 56.035226
    Oben rechts KachelX + 1 30196 KachelY 20396 -0.24658741 0.97799919 -14.128418 56.035226
    Unten links KachelX 30195 KachelY + 1 20397 -0.24668329 0.97794562 -14.133911 56.032157
    Unten rechts KachelX + 1 30196 KachelY + 1 20397 -0.24658741 0.97794562 -14.128418 56.032157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97799919-0.97794562) × R
    5.35700000000583e-05 × 6371000     		dl = 341.294470000371m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97799919-0.97794562) × R
    5.35700000000583e-05 × 6371000     		dr = 341.294470000371m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24668329--0.24658741) × cos(0.97799919) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.558683098154115 × 6371000     		do = 341.2723973584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24668329--0.24658741) × cos(0.97794562) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.558727527304014 × 6371000     		du = 341.299536970371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97799919)-sin(0.97794562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558683098154115-0.558727527304014)×R²
    abs(-0.24658741--0.24668329)×4.44291498995497e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.44291498995497e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.44291498995497e-05×40589641000000     		ar = 116479.013309667m²