Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 30194 / 22067
↖ ↑ ↗
← N 75.810873°
W 97.069702°		 ← 74.87 m → N 75.810873°
W 97.066956°		 →
↑
74.86 m
↓
↑
74.86 m
↓
N 75.810200°
W 97.069702°		 ← 74.87 m →
5 605 m²		 N 75.810200°
W 97.066956°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.230365753173828 y=0.168361663818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.230365753173828 × 217)
    floor (0.230365753173828 × 131072)
    floor (30194.5)     		tx = 30194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.168361663818359 × 217)
    floor (0.168361663818359 × 131072)
    floor (22067.5)     		ty = 22067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30194 / 22067 ti = "17/30194/22067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30194/22067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30194 ÷ 217
    30194 ÷ 131072     		x = 0.230361938476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22067 ÷ 217
    22067 ÷ 131072     		y = 0.168357849121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.230361938476562 × 2 - 1) × π
    -0.539276123046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.69418591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.168357849121094 × 2 - 1) × π
    0.663284301757812 × 3.1415926535     		Φ = 2.08376908958422
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69418591} λ = -1.69418591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08376908958422))-π/2
    2×atan(8.03469540209541)-π/2
    2×1.44697283797719-π/2
    2.89394567595437-1.57079632675     		φ = 1.32314935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69418591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.069702°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32314935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.810873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30194 KachelY 22067 -1.69418591 1.32314935 -97.069702 75.810873
    Oben rechts KachelX + 1 30195 KachelY 22067 -1.69413797 1.32314935 -97.066956 75.810873
    Unten links KachelX 30194 KachelY + 1 22068 -1.69418591 1.32313760 -97.069702 75.810200
    Unten rechts KachelX + 1 30195 KachelY + 1 22068 -1.69413797 1.32313760 -97.066956 75.810200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32314935-1.32313760) × R
    1.17500000000881e-05 × 6371000     		dl = 74.8592500005611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32314935-1.32313760) × R
    1.17500000000881e-05 × 6371000     		dr = 74.8592500005611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69418591--1.69413797) × cos(1.32314935) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.245123403043674 × 6371000     		do = 74.8669967658833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69418591--1.69413797) × cos(1.32313760) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.245134794556415 × 6371000     		du = 74.8704760270918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32314935)-sin(1.32313760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.245123403043674-0.245134794556415)×R²
    abs(-1.69413797--1.69418591)×1.13915127407382e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.13915127407382e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.13915127407382e-05×40589641000000     		ar = 5604.61745523603m²