Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 30193 / 30031
↖ ↑ ↗
← S 81.645331°
E151.710205°		 ← 177.50 m → S 81.645331°
E151.721192°		 →
↑
177.50 m
↓
↑
177.50 m
↓
S 81.646927°
E151.710205°		 ← 177.47 m →
31 503 m²		 S 81.646927°
E151.721192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.921432495117188 y=0.916488647460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.921432495117188 × 215)
    floor (0.921432495117188 × 32768)
    floor (30193.5)     		tx = 30193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916488647460938 × 215)
    floor (0.916488647460938 × 32768)
    floor (30031.5)     		ty = 30031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30193 / 30031 ti = "15/30193/30031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30193/30031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30193 ÷ 215
    30193 ÷ 32768     		x = 0.921417236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30031 ÷ 215
    30031 ÷ 32768     		y = 0.916473388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.921417236328125 × 2 - 1) × π
    0.84283447265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.64784259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916473388671875 × 2 - 1) × π
    -0.83294677734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.61677947645963
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.64784259} λ = 2.64784259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61677947645963))-π/2
    2×atan(0.0730377041139471)-π/2
    2×0.0729082448603802-π/2
    0.14581648972076-1.57079632675     		φ = -1.42497984
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.64784259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.710205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42497984 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.645331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30193 KachelY 30031 2.64784259 -1.42497984 151.710205 -81.645331
    Oben rechts KachelX + 1 30194 KachelY 30031 2.64803434 -1.42497984 151.721192 -81.645331
    Unten links KachelX 30193 KachelY + 1 30032 2.64784259 -1.42500770 151.710205 -81.646927
    Unten rechts KachelX + 1 30194 KachelY + 1 30032 2.64803434 -1.42500770 151.721192 -81.646927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42497984--1.42500770) × R
    2.78600000001017e-05 × 6371000     		dl = 177.496060000648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42497984--1.42500770) × R
    2.78600000001017e-05 × 6371000     		dr = 177.496060000648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.64784259-2.64803434) × cos(-1.42497984) × R
    0.000191749999999935 × 0.145300299963391 × 6371000     		do = 177.504549471992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.64784259-2.64803434) × cos(-1.42500770) × R
    0.000191749999999935 × 0.145272735568472 × 6371000     		du = 177.470875725256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42497984)-sin(-1.42500770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145300299963391-0.145272735568472)×R²
    abs(2.64803434-2.64784259)×2.75643949192439e-05×R²
    0.000191749999999935×2.75643949192439e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.75643949192439e-05×40589641000000     		ar = 31503.3696861979m²