Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30193 / 20105
↖ ↑ ↗
← N 56.917999°
W 14.144897°		 ← 333.39 m → N 56.917999°
W 14.139404°		 →
↑
333.46 m
↓
↑
333.46 m
↓
N 56.915000°
W 14.144897°		 ← 333.42 m →
111 177 m²		 N 56.915000°
W 14.139404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460716247558594 y=0.306785583496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460716247558594 × 216)
    floor (0.460716247558594 × 65536)
    floor (30193.5)     		tx = 30193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306785583496094 × 216)
    floor (0.306785583496094 × 65536)
    floor (20105.5)     		ty = 20105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30193 / 20105 ti = "16/30193/20105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30193/20105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30193 ÷ 216
    30193 ÷ 65536     		x = 0.460708618164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20105 ÷ 216
    20105 ÷ 65536     		y = 0.306777954101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460708618164062 × 2 - 1) × π
    -0.078582763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24687503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306777954101562 × 2 - 1) × π
    0.386444091796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.21404991977754
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24687503} λ = -0.24687503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21404991977754))-π/2
    2×atan(3.36709353520768)-π/2
    2×1.28210140209565-π/2
    2.5642028041913-1.57079632675     		φ = 0.99340648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24687503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.144897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99340648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.917999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30193 KachelY 20105 -0.24687503 0.99340648 -14.144897 56.917999
    Oben rechts KachelX + 1 30194 KachelY 20105 -0.24677916 0.99340648 -14.139404 56.917999
    Unten links KachelX 30193 KachelY + 1 20106 -0.24687503 0.99335414 -14.144897 56.915000
    Unten rechts KachelX + 1 30194 KachelY + 1 20106 -0.24677916 0.99335414 -14.139404 56.915000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99340648-0.99335414) × R
    5.23399999999841e-05 × 6371000     		dl = 333.458139999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99340648-0.99335414) × R
    5.23399999999841e-05 × 6371000     		dr = 333.458139999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24687503--0.24677916) × cos(0.99340648) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.545838776789331 × 6371000     		do = 333.391649254676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24687503--0.24677916) × cos(0.99335414) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.54588263121605 × 6371000     		du = 333.418435002176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99340648)-sin(0.99335414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545838776789331-0.54588263121605)×R²
    abs(-0.24677916--0.24687503)×4.38544267192809e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.38544267192809e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.38544267192809e-05×40589641000000     		ar = 111176.625239919m²