Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30192 / 30032
↖ ↑ ↗
← S 81.646927°
E151.699219°		 ← 177.47 m → S 81.646927°
E151.710205°		 →
↑
177.43 m
↓
↑
177.43 m
↓
S 81.648523°
E151.699219°		 ← 177.44 m →
31 486 m²		 S 81.648523°
E151.710205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.921401977539062 y=0.916519165039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.921401977539062 × 215)
    floor (0.921401977539062 × 32768)
    floor (30192.5)     		tx = 30192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916519165039062 × 215)
    floor (0.916519165039062 × 32768)
    floor (30032.5)     		ty = 30032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30192 / 30032 ti = "15/30192/30032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30192/30032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30192 ÷ 215
    30192 ÷ 32768     		x = 0.92138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30032 ÷ 215
    30032 ÷ 32768     		y = 0.91650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.92138671875 × 2 - 1) × π
    0.8427734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.64765084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91650390625 × 2 - 1) × π
    -0.8330078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.61697122405811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.64765084} λ = 2.64765084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61697122405811))-π/2
    2×atan(0.0730237006521927)-π/2
    2×0.0728943156896284-π/2
    0.145788631379257-1.57079632675     		φ = -1.42500770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.64765084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.699219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42500770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.646927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30192 KachelY 30032 2.64765084 -1.42500770 151.699219 -81.646927
    Oben rechts KachelX + 1 30193 KachelY 30032 2.64784259 -1.42500770 151.710205 -81.646927
    Unten links KachelX 30192 KachelY + 1 30033 2.64765084 -1.42503555 151.699219 -81.648523
    Unten rechts KachelX + 1 30193 KachelY + 1 30033 2.64784259 -1.42503555 151.710205 -81.648523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42500770--1.42503555) × R
    2.78499999999404e-05 × 6371000     		dl = 177.43234999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42500770--1.42503555) × R
    2.78499999999404e-05 × 6371000     		dr = 177.43234999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.64765084-2.64784259) × cos(-1.42500770) × R
    0.000191750000000379 × 0.145272735568472 × 6371000     		do = 177.470875725667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.64765084-2.64784259) × cos(-1.42503555) × R
    0.000191750000000379 × 0.145245180954752 × 6371000     		du = 177.437213928028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42500770)-sin(-1.42503555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145272735568472-0.145245180954752)×R²
    abs(2.64784259-2.64765084)×2.75546137198657e-05×R²
    0.000191750000000379×2.75546137198657e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.75546137198657e-05×40589641000000     		ar = 31486.0881926492m²