Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30192 / 20093
↖ ↑ ↗
← N 56.953961°
W 14.150391°		 ← 333.11 m → N 56.953961°
W 14.144897°		 →
↑
333.08 m
↓
↑
333.08 m
↓
N 56.950966°
W 14.150391°		 ← 333.13 m →
110 954 m²		 N 56.950966°
W 14.144897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460700988769531 y=0.306602478027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460700988769531 × 216)
    floor (0.460700988769531 × 65536)
    floor (30192.5)     		tx = 30192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306602478027344 × 216)
    floor (0.306602478027344 × 65536)
    floor (20093.5)     		ty = 20093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30192 / 20093 ti = "16/30192/20093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30192/20093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30192 ÷ 216
    30192 ÷ 65536     		x = 0.460693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20093 ÷ 216
    20093 ÷ 65536     		y = 0.306594848632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460693359375 × 2 - 1) × π
    -0.07861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24697091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306594848632812 × 2 - 1) × π
    0.386810302734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.21520040536842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24697091} λ = -0.24697091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21520040536842))-π/2
    2×atan(3.37096955702918)-π/2
    2×1.28241524060868-π/2
    2.56483048121735-1.57079632675     		φ = 0.99403415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24697091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.150391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99403415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.953961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30192 KachelY 20093 -0.24697091 0.99403415 -14.150391 56.953961
    Oben rechts KachelX + 1 30193 KachelY 20093 -0.24687503 0.99403415 -14.144897 56.953961
    Unten links KachelX 30192 KachelY + 1 20094 -0.24697091 0.99398187 -14.150391 56.950966
    Unten rechts KachelX + 1 30193 KachelY + 1 20094 -0.24687503 0.99398187 -14.144897 56.950966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99403415-0.99398187) × R
    5.22799999999046e-05 × 6371000     		dl = 333.075879999392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99403415-0.99398187) × R
    5.22799999999046e-05 × 6371000     		dr = 333.075879999392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24697091--0.24687503) × cos(0.99403415) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.545312750744165 × 6371000     		do = 333.105100854919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24697091--0.24687503) × cos(0.99398187) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.545356572802748 × 6371000     		du = 333.13186962426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99403415)-sin(0.99398187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545312750744165-0.545356572802748)×R²
    abs(-0.24687503--0.24697091)×4.38220585821103e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.38220585821103e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.38220585821103e-05×40589641000000     		ar = 110953.732640811m²