Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3019 / 3179
↖ ↑ ↗
← S 69.990535°
E 85.341797°		 ← 3 344.10 m → S 69.990535°
E 85.429688°		 →
↑
3 341.65 m
↓
↑
3 341.65 m
↓
S 70.020587°
E 85.341797°		 ← 3 339.28 m →
11 166 765 m²		 S 70.020587°
E 85.429688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7371826171875 y=0.7762451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7371826171875 × 212)
    floor (0.7371826171875 × 4096)
    floor (3019.5)     		tx = 3019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7762451171875 × 212)
    floor (0.7762451171875 × 4096)
    floor (3179.5)     		ty = 3179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3019 / 3179 ti = "12/3019/3179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3019/3179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3019 ÷ 212
    3019 ÷ 4096     		x = 0.737060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3179 ÷ 212
    3179 ÷ 4096     		y = 0.776123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.737060546875 × 2 - 1) × π
    0.47412109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.48949534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776123046875 × 2 - 1) × π
    -0.55224609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73493227104907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.48949534} λ = 1.48949534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73493227104907))-π/2
    2×atan(0.17641214809145)-π/2
    2×0.174615523268401-π/2
    0.349231046536803-1.57079632675     		φ = -1.22156528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.48949534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.341797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22156528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.990535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3019 KachelY 3179 1.48949534 -1.22156528 85.341797 -69.990535
    Oben rechts KachelX + 1 3020 KachelY 3179 1.49102933 -1.22156528 85.429688 -69.990535
    Unten links KachelX 3019 KachelY + 1 3180 1.48949534 -1.22208979 85.341797 -70.020587
    Unten rechts KachelX + 1 3020 KachelY + 1 3180 1.49102933 -1.22208979 85.429688 -70.020587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22156528--1.22208979) × R
    0.000524509999999978 × 6371000     		dl = 3341.65320999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22156528--1.22208979) × R
    0.000524509999999978 × 6371000     		dr = 3341.65320999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.48949534-1.49102933) × cos(-1.22156528) × R
    0.00153398999999999 × 0.342175372492454 × 6371000     		do = 3344.0971233682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.48949534-1.49102933) × cos(-1.22208979) × R
    0.00153398999999999 × 0.341682476912264 × 6371000     		du = 3339.28003007529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22156528)-sin(-1.22208979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342175372492454-0.341682476912264)×R²
    abs(1.49102933-1.48949534)×0.000492895580189501×R²
    0.00153398999999999×0.000492895580189501×6371000²
    0.00153398999999999×0.000492895580189501×40589641000000     		ar = 11166764.6152328m²