Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30189 / 20308
↖ ↑ ↗
← N 56.304349°
W 14.166870°		 ← 338.89 m → N 56.304349°
W 14.161377°		 →
↑
338.87 m
↓
↑
338.87 m
↓
N 56.301301°
W 14.166870°		 ← 338.92 m →
114 845 m²		 N 56.301301°
W 14.161377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460655212402344 y=0.309883117675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460655212402344 × 216)
    floor (0.460655212402344 × 65536)
    floor (30189.5)     		tx = 30189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309883117675781 × 216)
    floor (0.309883117675781 × 65536)
    floor (20308.5)     		ty = 20308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30189 / 20308 ti = "16/30189/20308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30189/20308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30189 ÷ 216
    30189 ÷ 65536     		x = 0.460647583007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20308 ÷ 216
    20308 ÷ 65536     		y = 0.30987548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460647583007812 × 2 - 1) × π
    -0.078704833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24725853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30987548828125 × 2 - 1) × π
    0.3802490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.1945875385318
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24725853} λ = -0.24725853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1945875385318))-π/2
    2×atan(3.30219546118273)-π/2
    2×1.27674629693988-π/2
    2.55349259387975-1.57079632675     		φ = 0.98269627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24725853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.166870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98269627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.304349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30189 KachelY 20308 -0.24725853 0.98269627 -14.166870 56.304349
    Oben rechts KachelX + 1 30190 KachelY 20308 -0.24716265 0.98269627 -14.161377 56.304349
    Unten links KachelX 30189 KachelY + 1 20309 -0.24725853 0.98264308 -14.166870 56.301301
    Unten rechts KachelX + 1 30190 KachelY + 1 20309 -0.24716265 0.98264308 -14.161377 56.301301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98269627-0.98264308) × R
    5.31900000000363e-05 × 6371000     		dl = 338.873490000231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98269627-0.98264308) × R
    5.31900000000363e-05 × 6371000     		dr = 338.873490000231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24725853--0.24716265) × cos(0.98269627) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.554781279594194 × 6371000     		do = 338.888965716381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24725853--0.24716265) × cos(0.98264308) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.554825532689022 × 6371000     		du = 338.915997784851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98269627)-sin(0.98264308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554781279594194-0.554825532689022)×R²
    abs(-0.24716265--0.24725853)×4.42530948281394e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.42530948281394e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.42530948281394e-05×40589641000000     		ar = 114845.066787582m²