Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30188 / 42013
↖ ↑ ↗
← S 45.201393°
W 14.172363°		 ← 430.37 m → S 45.201393°
W 14.166870°		 →
↑
430.42 m
↓
↑
430.42 m
↓
S 45.205264°
W 14.172363°		 ← 430.34 m →
185 236 m²		 S 45.205264°
W 14.166870°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460639953613281 y=0.641075134277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460639953613281 × 216)
    floor (0.460639953613281 × 65536)
    floor (30188.5)     		tx = 30188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641075134277344 × 216)
    floor (0.641075134277344 × 65536)
    floor (42013.5)     		ty = 42013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30188 / 42013 ti = "16/30188/42013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30188/42013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30188 ÷ 216
    30188 ÷ 65536     		x = 0.46063232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42013 ÷ 216
    42013 ÷ 65536     		y = 0.641067504882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46063232421875 × 2 - 1) × π
    -0.0787353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24735440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641067504882812 × 2 - 1) × π
    -0.282135009765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.886353273974838
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24735440} λ = -0.24735440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.886353273974838))-π/2
    2×atan(0.412156035671033)-π/2
    2×0.390941596139075-π/2
    0.781883192278149-1.57079632675     		φ = -0.78891313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24735440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.172363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78891313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.201393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30188 KachelY 42013 -0.24735440 -0.78891313 -14.172363 -45.201393
    Oben rechts KachelX + 1 30189 KachelY 42013 -0.24725853 -0.78891313 -14.166870 -45.201393
    Unten links KachelX 30188 KachelY + 1 42014 -0.24735440 -0.78898069 -14.172363 -45.205264
    Unten rechts KachelX + 1 30189 KachelY + 1 42014 -0.24725853 -0.78898069 -14.166870 -45.205264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78891313--0.78898069) × R
    6.75600000000776e-05 × 6371000     		dl = 430.424760000494m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78891313--0.78898069) × R
    6.75600000000776e-05 × 6371000     		dr = 430.424760000494m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24735440--0.24725853) × cos(-0.78891313) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.704616961440017 × 6371000     		do = 430.371422582114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24735440--0.24725853) × cos(-0.78898069) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.704569020075857 × 6371000     		du = 430.342140583209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78891313)-sin(-0.78898069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704616961440017-0.704569020075857)×R²
    abs(-0.24725853--0.24735440)×4.79413641595317e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79413641595317e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79413641595317e-05×40589641000000     		ar = 185236.214497902m²