Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30188 / 20245
↖ ↑ ↗
← N 56.495859°
W 14.172363°		 ← 337.15 m → N 56.495859°
W 14.166870°		 →
↑
337.15 m
↓
↑
337.15 m
↓
N 56.492827°
W 14.172363°		 ← 337.18 m →
113 677 m²		 N 56.492827°
W 14.166870°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460639953613281 y=0.308921813964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460639953613281 × 216)
    floor (0.460639953613281 × 65536)
    floor (30188.5)     		tx = 30188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308921813964844 × 216)
    floor (0.308921813964844 × 65536)
    floor (20245.5)     		ty = 20245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30188 / 20245 ti = "16/30188/20245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30188/20245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30188 ÷ 216
    30188 ÷ 65536     		x = 0.46063232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20245 ÷ 216
    20245 ÷ 65536     		y = 0.308914184570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46063232421875 × 2 - 1) × π
    -0.0787353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24735440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308914184570312 × 2 - 1) × π
    0.382171630859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.20062758788393
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24735440} λ = -0.24735440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20062758788393))-π/2
    2×atan(3.32220124186878)-π/2
    2×1.2784175442026-π/2
    2.5568350884052-1.57079632675     		φ = 0.98603876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24735440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.172363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98603876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.495859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30188 KachelY 20245 -0.24735440 0.98603876 -14.172363 56.495859
    Oben rechts KachelX + 1 30189 KachelY 20245 -0.24725853 0.98603876 -14.166870 56.495859
    Unten links KachelX 30188 KachelY + 1 20246 -0.24735440 0.98598584 -14.172363 56.492827
    Unten rechts KachelX + 1 30189 KachelY + 1 20246 -0.24725853 0.98598584 -14.166870 56.492827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98603876-0.98598584) × R
    5.29200000000118e-05 × 6371000     		dl = 337.153320000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98603876-0.98598584) × R
    5.29200000000118e-05 × 6371000     		dr = 337.153320000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24735440--0.24725853) × cos(0.98603876) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.551997246611648 × 6371000     		do = 337.153167304061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24735440--0.24725853) × cos(0.98598584) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.552041372965453 × 6371000     		du = 337.1801191413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98603876)-sin(0.98598584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551997246611648-0.552041372965453)×R²
    abs(-0.24725853--0.24735440)×4.41263538044634e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.41263538044634e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.41263538044634e-05×40589641000000     		ar = 113676.85318238m²