Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30187 / 28267
↖ ↑ ↗
← N 23.991272°
W 14.177857°		 ← 558.08 m → N 23.991272°
W 14.172363°		 →
↑
558.10 m
↓
↑
558.10 m
↓
N 23.986252°
W 14.177857°		 ← 558.10 m →
311 469 m²		 N 23.986252°
W 14.172363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460624694824219 y=0.431327819824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460624694824219 × 216)
    floor (0.460624694824219 × 65536)
    floor (30187.5)     		tx = 30187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431327819824219 × 216)
    floor (0.431327819824219 × 65536)
    floor (28267.5)     		ty = 28267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30187 / 28267 ti = "16/30187/28267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30187/28267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30187 ÷ 216
    30187 ÷ 65536     		x = 0.460617065429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28267 ÷ 216
    28267 ÷ 65536     		y = 0.431320190429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460617065429688 × 2 - 1) × π
    -0.078765869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24745028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431320190429688 × 2 - 1) × π
    0.137359619140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.431527970379745
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24745028} λ = -0.24745028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.431527970379745))-π/2
    2×atan(1.5396082029372)-π/2
    2×0.994761501293297-π/2
    1.98952300258659-1.57079632675     		φ = 0.41872668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24745028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.177857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41872668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.991272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30187 KachelY 28267 -0.24745028 0.41872668 -14.177857 23.991272
    Oben rechts KachelX + 1 30188 KachelY 28267 -0.24735440 0.41872668 -14.172363 23.991272
    Unten links KachelX 30187 KachelY + 1 28268 -0.24745028 0.41863908 -14.177857 23.986252
    Unten rechts KachelX + 1 30188 KachelY + 1 28268 -0.24735440 0.41863908 -14.172363 23.986252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41872668-0.41863908) × R
    8.7600000000021e-05 × 6371000     		dl = 558.099600000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41872668-0.41863908) × R
    8.7600000000021e-05 × 6371000     		dr = 558.099600000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24745028--0.24735440) × cos(0.41872668) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.913607409496639 × 6371000     		do = 558.078438229945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24745028--0.24735440) × cos(0.41863908) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.913643023929424 × 6371000     		du = 558.100193358921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41872668)-sin(0.41863908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913607409496639-0.913643023929424)×R²
    abs(-0.24735440--0.24745028)×3.56144327846586e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.56144327846586e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.56144327846586e-05×40589641000000     		ar = 311469.42410833m²