Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30186 / 41001
↖ ↑ ↗
← S 41.149706°
W 14.183350°		 ← 459.92 m → S 41.149706°
W 14.177857°		 →
↑
459.92 m
↓
↑
459.92 m
↓
S 41.153842°
W 14.183350°		 ← 459.89 m →
211 520 m²		 S 41.153842°
W 14.177857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460609436035156 y=0.625633239746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460609436035156 × 216)
    floor (0.460609436035156 × 65536)
    floor (30186.5)     		tx = 30186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625633239746094 × 216)
    floor (0.625633239746094 × 65536)
    floor (41001.5)     		ty = 41001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30186 / 41001 ti = "16/30186/41001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30186/41001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30186 ÷ 216
    30186 ÷ 65536     		x = 0.460601806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41001 ÷ 216
    41001 ÷ 65536     		y = 0.625625610351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460601806640625 × 2 - 1) × π
    -0.07879638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24754615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625625610351562 × 2 - 1) × π
    -0.251251220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.789328989143845
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24754615} λ = -0.24754615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.789328989143845))-π/2
    2×atan(0.45414943226293)-π/2
    2×0.426299233918985-π/2
    0.852598467837969-1.57079632675     		φ = -0.71819786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24754615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.183350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71819786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.149706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30186 KachelY 41001 -0.24754615 -0.71819786 -14.183350 -41.149706
    Oben rechts KachelX + 1 30187 KachelY 41001 -0.24745028 -0.71819786 -14.177857 -41.149706
    Unten links KachelX 30186 KachelY + 1 41002 -0.24754615 -0.71827005 -14.183350 -41.153842
    Unten rechts KachelX + 1 30187 KachelY + 1 41002 -0.24745028 -0.71827005 -14.177857 -41.153842
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71819786--0.71827005) × R
    7.21900000000275e-05 × 6371000     		dl = 459.922490000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71819786--0.71827005) × R
    7.21900000000275e-05 × 6371000     		dr = 459.922490000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24754615--0.24745028) × cos(-0.71819786) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.752992811167803 × 6371000     		do = 459.918799959204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24754615--0.24745028) × cos(-0.71827005) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.752945306110831 × 6371000     		du = 459.889784451392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71819786)-sin(-0.71827005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.752992811167803-0.752945306110831)×R²
    abs(-0.24745028--0.24754615)×4.75050569722635e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75050569722635e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75050569722635e-05×40589641000000     		ar = 211520.32732464m²