Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30184 / 20088
↖ ↑ ↗
← N 56.968936°
W 14.194336°		 ← 332.97 m → N 56.968936°
W 14.188843°		 →
↑
332.95 m
↓
↑
332.95 m
↓
N 56.965942°
W 14.194336°		 ← 333 m →
110 867 m²		 N 56.965942°
W 14.188843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460578918457031 y=0.306526184082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460578918457031 × 216)
    floor (0.460578918457031 × 65536)
    floor (30184.5)     		tx = 30184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306526184082031 × 216)
    floor (0.306526184082031 × 65536)
    floor (20088.5)     		ty = 20088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30184 / 20088 ti = "16/30184/20088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30184/20088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30184 ÷ 216
    30184 ÷ 65536     		x = 0.4605712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20088 ÷ 216
    20088 ÷ 65536     		y = 0.3065185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4605712890625 × 2 - 1) × π
    -0.078857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24773790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3065185546875 × 2 - 1) × π
    0.386962890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.21567977436462
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24773790} λ = -0.24773790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21567977436462))-π/2
    2×atan(3.37258588269922)-π/2
    2×1.28254591736306-π/2
    2.56509183472613-1.57079632675     		φ = 0.99429551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24773790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.194336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99429551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.968936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30184 KachelY 20088 -0.24773790 0.99429551 -14.194336 56.968936
    Oben rechts KachelX + 1 30185 KachelY 20088 -0.24764202 0.99429551 -14.188843 56.968936
    Unten links KachelX 30184 KachelY + 1 20089 -0.24773790 0.99424325 -14.194336 56.965942
    Unten rechts KachelX + 1 30185 KachelY + 1 20089 -0.24764202 0.99424325 -14.188843 56.965942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99429551-0.99424325) × R
    5.22600000000262e-05 × 6371000     		dl = 332.948460000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99429551-0.99424325) × R
    5.22600000000262e-05 × 6371000     		dr = 332.948460000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24773790--0.24764202) × cos(0.99429551) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.545093651631938 × 6371000     		do = 332.971263838045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24773790--0.24764202) × cos(0.99424325) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.545137464373489 × 6371000     		du = 332.998026916064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99429551)-sin(0.99424325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545093651631938-0.545137464373489)×R²
    abs(-0.24764202--0.24773790)×4.38127415506306e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.38127415506306e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.38127415506306e-05×40589641000000     		ar = 110866.724907215m²