Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30183 / 19918
↖ ↑ ↗
← N 57.474497°
W 14.199829°		 ← 328.41 m → N 57.474497°
W 14.194336°		 →
↑
328.43 m
↓
↑
328.43 m
↓
N 57.471543°
W 14.199829°		 ← 328.43 m →
107 861 m²		 N 57.471543°
W 14.194336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460563659667969 y=0.303932189941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460563659667969 × 216)
    floor (0.460563659667969 × 65536)
    floor (30183.5)     		tx = 30183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303932189941406 × 216)
    floor (0.303932189941406 × 65536)
    floor (19918.5)     		ty = 19918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30183 / 19918 ti = "16/30183/19918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30183/19918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30183 ÷ 216
    30183 ÷ 65536     		x = 0.460556030273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19918 ÷ 216
    19918 ÷ 65536     		y = 0.303924560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460556030273438 × 2 - 1) × π
    -0.078887939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24783377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303924560546875 × 2 - 1) × π
    0.39215087890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.23197832023544
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24783377} λ = -0.24783377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23197832023544))-π/2
    2×atan(3.42800452324867)-π/2
    2×1.28695776543549-π/2
    2.57391553087098-1.57079632675     		φ = 1.00311920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24783377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.199829°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00311920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.474497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30183 KachelY 19918 -0.24783377 1.00311920 -14.199829 57.474497
    Oben rechts KachelX + 1 30184 KachelY 19918 -0.24773790 1.00311920 -14.194336 57.474497
    Unten links KachelX 30183 KachelY + 1 19919 -0.24783377 1.00306765 -14.199829 57.471543
    Unten rechts KachelX + 1 30184 KachelY + 1 19919 -0.24773790 1.00306765 -14.194336 57.471543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00311920-1.00306765) × R
    5.15500000000113e-05 × 6371000     		dl = 328.425050000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00311920-1.00306765) × R
    5.15500000000113e-05 × 6371000     		dr = 328.425050000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24783377--0.24773790) × cos(1.00311920) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.537674965419651 × 6371000     		do = 328.405293113488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24783377--0.24773790) × cos(1.00306765) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.537718429201107 × 6371000     		du = 328.43184025964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00311920)-sin(1.00306765))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.537674965419651-0.537718429201107)×R²
    abs(-0.24773790--0.24783377)×4.34637814566985e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.34637814566985e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.34637814566985e-05×40589641000000     		ar = 107860.884208708m²