Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30182 / 42006
↖ ↑ ↗
← S 45.174292°
W 14.205322°		 ← 430.58 m → S 45.174292°
W 14.199829°		 →
↑
430.62 m
↓
↑
430.62 m
↓
S 45.178165°
W 14.205322°		 ← 430.55 m →
185 407 m²		 S 45.178165°
W 14.199829°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460548400878906 y=0.640968322753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460548400878906 × 216)
    floor (0.460548400878906 × 65536)
    floor (30182.5)     		tx = 30182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640968322753906 × 216)
    floor (0.640968322753906 × 65536)
    floor (42006.5)     		ty = 42006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30182 / 42006 ti = "16/30182/42006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30182/42006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30182 ÷ 216
    30182 ÷ 65536     		x = 0.460540771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42006 ÷ 216
    42006 ÷ 65536     		y = 0.640960693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460540771484375 × 2 - 1) × π
    -0.07891845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24792964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640960693359375 × 2 - 1) × π
    -0.28192138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.885682157380157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24792964} λ = -0.24792964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.885682157380157))-π/2
    2×atan(0.412432733263957)-π/2
    2×0.391178092504272-π/2
    0.782356185008544-1.57079632675     		φ = -0.78844014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24792964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.205322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78844014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.174292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30182 KachelY 42006 -0.24792964 -0.78844014 -14.205322 -45.174292
    Oben rechts KachelX + 1 30183 KachelY 42006 -0.24783377 -0.78844014 -14.199829 -45.174292
    Unten links KachelX 30182 KachelY + 1 42007 -0.24792964 -0.78850773 -14.205322 -45.178165
    Unten rechts KachelX + 1 30183 KachelY + 1 42007 -0.24783377 -0.78850773 -14.199829 -45.178165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78844014--0.78850773) × R
    6.75900000000063e-05 × 6371000     		dl = 430.61589000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78844014--0.78850773) × R
    6.75900000000063e-05 × 6371000     		dr = 430.61589000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24792964--0.24783377) × cos(-0.78844014) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.704952510573311 × 6371000     		do = 430.576371888965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24792964--0.24783377) × cos(-0.78850773) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.704904570450862 × 6371000     		du = 430.547090648481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78844014)-sin(-0.78850773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704952510573311-0.704904570450862)×R²
    abs(-0.24783377--0.24792964)×4.79401224487974e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79401224487974e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79401224487974e-05×40589641000000     		ar = 185406.723180819m²