Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30182 / 19913
↖ ↑ ↗
← N 57.489262°
W 14.205322°		 ← 328.27 m → N 57.489262°
W 14.199829°		 →
↑
328.30 m
↓
↑
328.30 m
↓
N 57.486309°
W 14.205322°		 ← 328.30 m →
107 775 m²		 N 57.486309°
W 14.199829°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460548400878906 y=0.303855895996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460548400878906 × 216)
    floor (0.460548400878906 × 65536)
    floor (30182.5)     		tx = 30182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303855895996094 × 216)
    floor (0.303855895996094 × 65536)
    floor (19913.5)     		ty = 19913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30182 / 19913 ti = "16/30182/19913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30182/19913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30182 ÷ 216
    30182 ÷ 65536     		x = 0.460540771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19913 ÷ 216
    19913 ÷ 65536     		y = 0.303848266601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460540771484375 × 2 - 1) × π
    -0.07891845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24792964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303848266601562 × 2 - 1) × π
    0.392303466796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.23245768923164
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24792964} λ = -0.24792964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23245768923164))-π/2
    2×atan(3.42964819626742)-π/2
    2×1.2870866117471-π/2
    2.57417322349419-1.57079632675     		φ = 1.00337690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24792964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.205322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00337690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.489262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30182 KachelY 19913 -0.24792964 1.00337690 -14.205322 57.489262
    Oben rechts KachelX + 1 30183 KachelY 19913 -0.24783377 1.00337690 -14.199829 57.489262
    Unten links KachelX 30182 KachelY + 1 19914 -0.24792964 1.00332537 -14.205322 57.486309
    Unten rechts KachelX + 1 30183 KachelY + 1 19914 -0.24783377 1.00332537 -14.199829 57.486309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00337690-1.00332537) × R
    5.15299999999108e-05 × 6371000     		dl = 328.297629999432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00337690-1.00332537) × R
    5.15299999999108e-05 × 6371000     		dr = 328.297629999432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24792964--0.24783377) × cos(1.00337690) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.537457667246932 × 6371000     		do = 328.272570047149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24792964--0.24783377) × cos(1.00332537) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.537501121304682 × 6371000     		du = 328.299111254179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00337690)-sin(1.00332537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.537457667246932-0.537501121304682)×R²
    abs(-0.24783377--0.24792964)×4.34540577497478e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.34540577497478e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.34540577497478e-05×40589641000000     		ar = 107775.463471798m²