Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30181 / 20087
↖ ↑ ↗
← N 56.971931°
W 14.210816°		 ← 332.94 m → N 56.971931°
W 14.205322°		 →
↑
332.95 m
↓
↑
332.95 m
↓
N 56.968936°
W 14.210816°		 ← 332.97 m →
110 858 m²		 N 56.968936°
W 14.205322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460533142089844 y=0.306510925292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460533142089844 × 216)
    floor (0.460533142089844 × 65536)
    floor (30181.5)     		tx = 30181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306510925292969 × 216)
    floor (0.306510925292969 × 65536)
    floor (20087.5)     		ty = 20087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30181 / 20087 ti = "16/30181/20087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30181/20087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30181 ÷ 216
    30181 ÷ 65536     		x = 0.460525512695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20087 ÷ 216
    20087 ÷ 65536     		y = 0.306503295898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460525512695312 × 2 - 1) × π
    -0.078948974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24802552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306503295898438 × 2 - 1) × π
    0.386993408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.21577564816386
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24802552} λ = -0.24802552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21577564816386))-π/2
    2×atan(3.37290924082159)-π/2
    2×1.28257204641268-π/2
    2.56514409282536-1.57079632675     		φ = 0.99434777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24802552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.210816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99434777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.971931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30181 KachelY 20087 -0.24802552 0.99434777 -14.210816 56.971931
    Oben rechts KachelX + 1 30182 KachelY 20087 -0.24792964 0.99434777 -14.205322 56.971931
    Unten links KachelX 30181 KachelY + 1 20088 -0.24802552 0.99429551 -14.210816 56.968936
    Unten rechts KachelX + 1 30182 KachelY + 1 20088 -0.24792964 0.99429551 -14.205322 56.968936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99434777-0.99429551) × R
    5.22599999999152e-05 × 6371000     		dl = 332.948459999459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99434777-0.99429551) × R
    5.22599999999152e-05 × 6371000     		dr = 332.948459999459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24802552--0.24792964) × cos(0.99434777) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.545049837401678 × 6371000     		do = 332.944499850549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24802552--0.24792964) × cos(0.99429551) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.545093651631938 × 6371000     		du = 332.971263837948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99434777)-sin(0.99429551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545049837401678-0.545093651631938)×R²
    abs(-0.24792964--0.24802552)×4.38142302601197e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.38142302601197e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.38142302601197e-05×40589641000000     		ar = 110857.81402977m²