Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30180 / 20307
↖ ↑ ↗
← N 56.307396°
W 14.216308°		 ← 338.83 m → N 56.307396°
W 14.210816°		 →
↑
338.81 m
↓
↑
338.81 m
↓
N 56.304349°
W 14.216308°		 ← 338.85 m →
114 802 m²		 N 56.304349°
W 14.210816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460517883300781 y=0.309867858886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460517883300781 × 216)
    floor (0.460517883300781 × 65536)
    floor (30180.5)     		tx = 30180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309867858886719 × 216)
    floor (0.309867858886719 × 65536)
    floor (20307.5)     		ty = 20307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30180 / 20307 ti = "16/30180/20307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30180/20307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30180 ÷ 216
    30180 ÷ 65536     		x = 0.46051025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20307 ÷ 216
    20307 ÷ 65536     		y = 0.309860229492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46051025390625 × 2 - 1) × π
    -0.0789794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24812139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309860229492188 × 2 - 1) × π
    0.380279541015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19468341233104
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24812139} λ = -0.24812139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19468341233104))-π/2
    2×atan(3.30251207038445)-π/2
    2×1.27677289037384-π/2
    2.55354578074769-1.57079632675     		φ = 0.98274945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24812139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.216308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98274945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.307396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30180 KachelY 20307 -0.24812139 0.98274945 -14.216308 56.307396
    Oben rechts KachelX + 1 30181 KachelY 20307 -0.24802552 0.98274945 -14.210816 56.307396
    Unten links KachelX 30180 KachelY + 1 20308 -0.24812139 0.98269627 -14.216308 56.304349
    Unten rechts KachelX + 1 30181 KachelY + 1 20308 -0.24802552 0.98269627 -14.210816 56.304349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98274945-0.98269627) × R
    5.3179999999986e-05 × 6371000     		dl = 338.809779999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98274945-0.98269627) × R
    5.3179999999986e-05 × 6371000     		dr = 338.809779999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24812139--0.24802552) × cos(0.98274945) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.554737033250049 × 6371000     		do = 338.826595475206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24812139--0.24802552) × cos(0.98269627) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.554781279594194 × 6371000     		du = 338.853620601077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98274945)-sin(0.98269627))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554737033250049-0.554781279594194)×R²
    abs(-0.24802552--0.24812139)×4.42463441446828e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.42463441446828e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.42463441446828e-05×40589641000000     		ar = 114802.342486791m²