Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30180 / 17252
↖ ↑ ↗
← N 64.538996°
W 14.216308°		 ← 262.58 m → N 64.538996°
W 14.210816°		 →
↑
262.55 m
↓
↑
262.55 m
↓
N 64.536634°
W 14.216308°		 ← 262.60 m →
68 942 m²		 N 64.536634°
W 14.210816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460517883300781 y=0.263252258300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460517883300781 × 216)
    floor (0.460517883300781 × 65536)
    floor (30180.5)     		tx = 30180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263252258300781 × 216)
    floor (0.263252258300781 × 65536)
    floor (17252.5)     		ty = 17252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30180 / 17252 ti = "16/30180/17252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30180/17252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30180 ÷ 216
    30180 ÷ 65536     		x = 0.46051025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17252 ÷ 216
    17252 ÷ 65536     		y = 0.26324462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46051025390625 × 2 - 1) × π
    -0.0789794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24812139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26324462890625 × 2 - 1) × π
    0.4735107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.48757786900958
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24812139} λ = -0.24812139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48757786900958))-π/2
    2×atan(4.42636129753277)-π/2
    2×1.34860714977114-π/2
    2.69721429954228-1.57079632675     		φ = 1.12641797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24812139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.216308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12641797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.538996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30180 KachelY 17252 -0.24812139 1.12641797 -14.216308 64.538996
    Oben rechts KachelX + 1 30181 KachelY 17252 -0.24802552 1.12641797 -14.210816 64.538996
    Unten links KachelX 30180 KachelY + 1 17253 -0.24812139 1.12637676 -14.216308 64.536634
    Unten rechts KachelX + 1 30181 KachelY + 1 17253 -0.24802552 1.12637676 -14.210816 64.536634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12641797-1.12637676) × R
    4.12100000000137e-05 × 6371000     		dl = 262.548910000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12641797-1.12637676) × R
    4.12100000000137e-05 × 6371000     		dr = 262.548910000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24812139--0.24802552) × cos(1.12641797) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.429896695376922 × 6371000     		do = 262.575643899634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24812139--0.24802552) × cos(1.12637676) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.42993390261764 × 6371000     		du = 262.59836962722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12641797)-sin(1.12637676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429896695376922-0.42993390261764)×R²
    abs(-0.24802552--0.24812139)×3.72072407175961e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.72072407175961e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.72072407175961e-05×40589641000000     		ar = 68941.9324159726m²