Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30180 / 15078
↖ ↑ ↗
← N 69.213303°
W 14.216308°		 ← 216.76 m → N 69.213303°
W 14.210816°		 →
↑
216.81 m
↓
↑
216.81 m
↓
N 69.211354°
W 14.216308°		 ← 216.78 m →
46 997 m²		 N 69.211354°
W 14.210816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460517883300781 y=0.230079650878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460517883300781 × 216)
    floor (0.460517883300781 × 65536)
    floor (30180.5)     		tx = 30180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230079650878906 × 216)
    floor (0.230079650878906 × 65536)
    floor (15078.5)     		ty = 15078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30180 / 15078 ti = "16/30180/15078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30180/15078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30180 ÷ 216
    30180 ÷ 65536     		x = 0.46051025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15078 ÷ 216
    15078 ÷ 65536     		y = 0.230072021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46051025390625 × 2 - 1) × π
    -0.0789794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24812139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230072021484375 × 2 - 1) × π
    0.53985595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.69600750855759
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24812139} λ = -0.24812139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69600750855759))-π/2
    2×atan(5.45213627293448)-π/2
    2×1.38939817679646-π/2
    2.77879635359293-1.57079632675     		φ = 1.20800003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24812139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.216308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20800003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.213303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30180 KachelY 15078 -0.24812139 1.20800003 -14.216308 69.213303
    Oben rechts KachelX + 1 30181 KachelY 15078 -0.24802552 1.20800003 -14.210816 69.213303
    Unten links KachelX 30180 KachelY + 1 15079 -0.24812139 1.20796600 -14.216308 69.211354
    Unten rechts KachelX + 1 30181 KachelY + 1 15079 -0.24802552 1.20796600 -14.210816 69.211354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20800003-1.20796600) × R
    3.40299999999072e-05 × 6371000     		dl = 216.805129999409m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20800003-1.20796600) × R
    3.40299999999072e-05 × 6371000     		dr = 216.805129999409m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24812139--0.24802552) × cos(1.20800003) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.354889897889139 × 6371000     		do = 216.76240932723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24812139--0.24802552) × cos(1.20796600) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.354921712606377 × 6371000     		du = 216.781841367425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20800003)-sin(1.20796600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354889897889139-0.354921712606377)×R²
    abs(-0.24802552--0.24812139)×3.18147172380101e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.18147172380101e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.18147172380101e-05×40589641000000     		ar = 46997.3088205439m²