Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30179 / 19973
↖ ↑ ↗
← N 57.311691°
W 14.221802°		 ← 329.90 m → N 57.311691°
W 14.216308°		 →
↑
329.89 m
↓
↑
329.89 m
↓
N 57.308724°
W 14.221802°		 ← 329.93 m →
108 836 m²		 N 57.308724°
W 14.216308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460502624511719 y=0.304771423339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460502624511719 × 216)
    floor (0.460502624511719 × 65536)
    floor (30179.5)     		tx = 30179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304771423339844 × 216)
    floor (0.304771423339844 × 65536)
    floor (19973.5)     		ty = 19973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30179 / 19973 ti = "16/30179/19973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30179/19973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30179 ÷ 216
    30179 ÷ 65536     		x = 0.460494995117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19973 ÷ 216
    19973 ÷ 65536     		y = 0.304763793945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460494995117188 × 2 - 1) × π
    -0.079010009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24821727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304763793945312 × 2 - 1) × π
    0.390472412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.22670526127724
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24821727} λ = -0.24821727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22670526127724))-π/2
    2×atan(3.40997602772224)-π/2
    2×1.28553701547291-π/2
    2.57107403094583-1.57079632675     		φ = 1.00027770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24821727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.221802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00027770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.311691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30179 KachelY 19973 -0.24821727 1.00027770 -14.221802 57.311691
    Oben rechts KachelX + 1 30180 KachelY 19973 -0.24812139 1.00027770 -14.216308 57.311691
    Unten links KachelX 30179 KachelY + 1 19974 -0.24821727 1.00022592 -14.221802 57.308724
    Unten rechts KachelX + 1 30180 KachelY + 1 19974 -0.24812139 1.00022592 -14.216308 57.308724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00027770-1.00022592) × R
    5.17799999999458e-05 × 6371000     		dl = 329.890379999654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00027770-1.00022592) × R
    5.17799999999458e-05 × 6371000     		dr = 329.890379999654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24821727--0.24812139) × cos(1.00027770) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.540068608545337 × 6371000     		do = 329.901708831435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24821727--0.24812139) × cos(1.00022592) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.540112186956396 × 6371000     		du = 329.928328768326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00027770)-sin(1.00022592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540068608545337-0.540112186956396)×R²
    abs(-0.24812139--0.24821727)×4.35784110585091e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.35784110585091e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.35784110585091e-05×40589641000000     		ar = 108835.790943898m²