Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30175 / 19912
↖ ↑ ↗
← N 57.492214°
W 14.243774°		 ← 328.25 m → N 57.492214°
W 14.238281°		 →
↑
328.23 m
↓
↑
328.23 m
↓
N 57.489262°
W 14.243774°		 ← 328.27 m →
107 746 m²		 N 57.489262°
W 14.238281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460441589355469 y=0.303840637207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460441589355469 × 216)
    floor (0.460441589355469 × 65536)
    floor (30175.5)     		tx = 30175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303840637207031 × 216)
    floor (0.303840637207031 × 65536)
    floor (19912.5)     		ty = 19912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30175 / 19912 ti = "16/30175/19912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30175/19912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30175 ÷ 216
    30175 ÷ 65536     		x = 0.460433959960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19912 ÷ 216
    19912 ÷ 65536     		y = 0.3038330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460433959960938 × 2 - 1) × π
    -0.079132080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24860076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3038330078125 × 2 - 1) × π
    0.392333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.23255356303088
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24860076} λ = -0.24860076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23255356303088))-π/2
    2×atan(3.42997702543285)-π/2
    2×1.28711237475999-π/2
    2.57422474951997-1.57079632675     		φ = 1.00342842
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24860076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.243774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00342842 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.492214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30175 KachelY 19912 -0.24860076 1.00342842 -14.243774 57.492214
    Oben rechts KachelX + 1 30176 KachelY 19912 -0.24850489 1.00342842 -14.238281 57.492214
    Unten links KachelX 30175 KachelY + 1 19913 -0.24860076 1.00337690 -14.243774 57.489262
    Unten rechts KachelX + 1 30176 KachelY + 1 19913 -0.24850489 1.00337690 -14.238281 57.489262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00342842-1.00337690) × R
    5.15200000001936e-05 × 6371000     		dl = 328.233920001234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00342842-1.00337690) × R
    5.15200000001936e-05 × 6371000     		dr = 328.233920001234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24860076--0.24850489) × cos(1.00342842) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.537414220195233 × 6371000     		do = 328.246033119328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24860076--0.24850489) × cos(1.00337690) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.537457667246932 × 6371000     		du = 328.272570047149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00342842)-sin(1.00337690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.537414220195233-0.537457667246932)×R²
    abs(-0.24850489--0.24860076)×4.34470516990082e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.34470516990082e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.34470516990082e-05×40589641000000     		ar = 107745.837359734m²