Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30174 / 21017
↖ ↑ ↗
← N 54.081951°
W 14.249268°		 ← 358.34 m → N 54.081951°
W 14.243774°		 →
↑
358.31 m
↓
↑
358.31 m
↓
N 54.078729°
W 14.249268°		 ← 358.37 m →
128 401 m²		 N 54.078729°
W 14.243774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460426330566406 y=0.320701599121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460426330566406 × 216)
    floor (0.460426330566406 × 65536)
    floor (30174.5)     		tx = 30174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320701599121094 × 216)
    floor (0.320701599121094 × 65536)
    floor (21017.5)     		ty = 21017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30174 / 21017 ti = "16/30174/21017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30174/21017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30174 ÷ 216
    30174 ÷ 65536     		x = 0.460418701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21017 ÷ 216
    21017 ÷ 65536     		y = 0.320693969726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460418701171875 × 2 - 1) × π
    -0.07916259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24869664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320693969726562 × 2 - 1) × π
    0.358612060546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.12661301487056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24869664} λ = -0.24869664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12661301487056))-π/2
    2×atan(3.08518929373549)-π/2
    2×1.25735221972938-π/2
    2.51470443945875-1.57079632675     		φ = 0.94390811
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24869664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.249268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94390811 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.081951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30174 KachelY 21017 -0.24869664 0.94390811 -14.249268 54.081951
    Oben rechts KachelX + 1 30175 KachelY 21017 -0.24860076 0.94390811 -14.243774 54.081951
    Unten links KachelX 30174 KachelY + 1 21018 -0.24869664 0.94385187 -14.249268 54.078729
    Unten rechts KachelX + 1 30175 KachelY + 1 21018 -0.24860076 0.94385187 -14.243774 54.078729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94390811-0.94385187) × R
    5.62399999999297e-05 × 6371000     		dl = 358.305039999552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94390811-0.94385187) × R
    5.62399999999297e-05 × 6371000     		dr = 358.305039999552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24869664--0.24860076) × cos(0.94390811) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.586627503171153 × 6371000     		do = 358.342278520776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24869664--0.24860076) × cos(0.94385187) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.586673048594551 × 6371000     		du = 358.370100010066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94390811)-sin(0.94385187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586627503171153-0.586673048594551)×R²
    abs(-0.24860076--0.24869664)×4.55454233976305e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.55454233976305e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.55454233976305e-05×40589641000000     		ar = 128400.828762571m²