Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30173 / 21022
↖ ↑ ↗
← N 54.065836°
W 14.254761°		 ← 358.44 m → N 54.065836°
W 14.249268°		 →
↑
358.50 m
↓
↑
358.50 m
↓
N 54.062612°
W 14.254761°		 ← 358.47 m →
128 506 m²		 N 54.062612°
W 14.249268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460411071777344 y=0.320777893066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460411071777344 × 216)
    floor (0.460411071777344 × 65536)
    floor (30173.5)     		tx = 30173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320777893066406 × 216)
    floor (0.320777893066406 × 65536)
    floor (21022.5)     		ty = 21022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30173 / 21022 ti = "16/30173/21022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30173/21022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30173 ÷ 216
    30173 ÷ 65536     		x = 0.460403442382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21022 ÷ 216
    21022 ÷ 65536     		y = 0.320770263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460403442382812 × 2 - 1) × π
    -0.079193115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24879251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320770263671875 × 2 - 1) × π
    0.35845947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.12613364587436
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24879251} λ = -0.24879251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12613364587436))-π/2
    2×atan(3.083710704064)-π/2
    2×1.25721158691659-π/2
    2.51442317383318-1.57079632675     		φ = 0.94362685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24879251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.254761°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94362685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.065836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30173 KachelY 21022 -0.24879251 0.94362685 -14.254761 54.065836
    Oben rechts KachelX + 1 30174 KachelY 21022 -0.24869664 0.94362685 -14.249268 54.065836
    Unten links KachelX 30173 KachelY + 1 21023 -0.24879251 0.94357058 -14.254761 54.062612
    Unten rechts KachelX + 1 30174 KachelY + 1 21023 -0.24869664 0.94357058 -14.249268 54.062612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94362685-0.94357058) × R
    5.62699999999694e-05 × 6371000     		dl = 358.496169999805m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94362685-0.94357058) × R
    5.62699999999694e-05 × 6371000     		dr = 358.496169999805m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24879251--0.24869664) × cos(0.94362685) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.586855260312111 × 6371000     		do = 358.444015758796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24879251--0.24869664) × cos(0.94357058) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.586900820743802 × 6371000     		du = 358.471843513269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94362685)-sin(0.94357058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586855260312111-0.586900820743802)×R²
    abs(-0.24869664--0.24879251)×4.55604316909053e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.55604316909053e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.55604316909053e-05×40589641000000     		ar = 128505.794914229m²