Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30172 / 17269
↖ ↑ ↗
← N 64.498821°
W 14.260254°		 ← 262.96 m → N 64.498821°
W 14.254761°		 →
↑
262.99 m
↓
↑
262.99 m
↓
N 64.496456°
W 14.260254°		 ← 262.99 m →
69 161 m²		 N 64.496456°
W 14.254761°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460395812988281 y=0.263511657714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460395812988281 × 216)
    floor (0.460395812988281 × 65536)
    floor (30172.5)     		tx = 30172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263511657714844 × 216)
    floor (0.263511657714844 × 65536)
    floor (17269.5)     		ty = 17269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30172 / 17269 ti = "16/30172/17269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30172/17269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30172 ÷ 216
    30172 ÷ 65536     		x = 0.46038818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17269 ÷ 216
    17269 ÷ 65536     		y = 0.263504028320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46038818359375 × 2 - 1) × π
    -0.0792236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24888838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263504028320312 × 2 - 1) × π
    0.472991943359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.4859480144225
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24888838} λ = -0.24888838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4859480144225))-π/2
    2×atan(4.41915284822572)-π/2
    2×1.34825655735578-π/2
    2.69651311471155-1.57079632675     		φ = 1.12571679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24888838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.260254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12571679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.498821°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30172 KachelY 17269 -0.24888838 1.12571679 -14.260254 64.498821
    Oben rechts KachelX + 1 30173 KachelY 17269 -0.24879251 1.12571679 -14.254761 64.498821
    Unten links KachelX 30172 KachelY + 1 17270 -0.24888838 1.12567551 -14.260254 64.496456
    Unten rechts KachelX + 1 30173 KachelY + 1 17270 -0.24879251 1.12567551 -14.254761 64.496456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12571679-1.12567551) × R
    4.12800000000324e-05 × 6371000     		dl = 262.994880000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12571679-1.12567551) × R
    4.12800000000324e-05 × 6371000     		dr = 262.994880000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24888838--0.24879251) × cos(1.12571679) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.430529669698638 × 6371000     		do = 262.962256874062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24888838--0.24879251) × cos(1.12567551) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.430566927686644 × 6371000     		du = 262.985013597471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12571679)-sin(1.12567551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430529669698638-0.430566927686644)×R²
    abs(-0.24879251--0.24888838)×3.72579880063562e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.72579880063562e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.72579880063562e-05×40589641000000     		ar = 69160.719651965m²