Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30171 / 41037
↖ ↑ ↗
← S 41.298444°
W 14.265747°		 ← 458.92 m → S 41.298444°
W 14.260254°		 →
↑
458.90 m
↓
↑
458.90 m
↓
S 41.302571°
W 14.265747°		 ← 458.89 m →
210 594 m²		 S 41.302571°
W 14.260254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460380554199219 y=0.626182556152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460380554199219 × 216)
    floor (0.460380554199219 × 65536)
    floor (30171.5)     		tx = 30171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626182556152344 × 216)
    floor (0.626182556152344 × 65536)
    floor (41037.5)     		ty = 41037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30171 / 41037 ti = "16/30171/41037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30171/41037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30171 ÷ 216
    30171 ÷ 65536     		x = 0.460372924804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41037 ÷ 216
    41037 ÷ 65536     		y = 0.626174926757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460372924804688 × 2 - 1) × π
    -0.079254150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24898426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626174926757812 × 2 - 1) × π
    -0.252349853515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.792780445916489
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24898426} λ = -0.24898426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.792780445916489))-π/2
    2×atan(0.452584657059513)-π/2
    2×0.425001248831611-π/2
    0.850002497663221-1.57079632675     		φ = -0.72079383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24898426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.265747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72079383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.298444°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30171 KachelY 41037 -0.24898426 -0.72079383 -14.265747 -41.298444
    Oben rechts KachelX + 1 30172 KachelY 41037 -0.24888838 -0.72079383 -14.260254 -41.298444
    Unten links KachelX 30171 KachelY + 1 41038 -0.24898426 -0.72086586 -14.265747 -41.302571
    Unten rechts KachelX + 1 30172 KachelY + 1 41038 -0.24888838 -0.72086586 -14.260254 -41.302571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72079383--0.72086586) × R
    7.20300000000007e-05 × 6371000     		dl = 458.903130000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72079383--0.72086586) × R
    7.20300000000007e-05 × 6371000     		dr = 458.903130000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24898426--0.24888838) × cos(-0.72079383) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.751282052980501 × 6371000     		do = 458.921753960675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24898426--0.24888838) × cos(-0.72086586) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.751234512580712 × 6371000     		du = 458.892713837104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72079383)-sin(-0.72086586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751282052980501-0.751234512580712)×R²
    abs(-0.24888838--0.24898426)×4.75403997896029e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.75403997896029e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.75403997896029e-05×40589641000000     		ar = 210593.966106808m²