Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30169 / 42066
↖ ↑ ↗
← S 45.406164°
W 14.276733°		 ← 428.82 m → S 45.406164°
W 14.271240°		 →
↑
428.83 m
↓
↑
428.83 m
↓
S 45.410020°
W 14.276733°		 ← 428.79 m →
183 885 m²		 S 45.410020°
W 14.271240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460350036621094 y=0.641883850097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460350036621094 × 216)
    floor (0.460350036621094 × 65536)
    floor (30169.5)     		tx = 30169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641883850097656 × 216)
    floor (0.641883850097656 × 65536)
    floor (42066.5)     		ty = 42066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30169 / 42066 ti = "16/30169/42066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30169/42066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30169 ÷ 216
    30169 ÷ 65536     		x = 0.460342407226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42066 ÷ 216
    42066 ÷ 65536     		y = 0.641876220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460342407226562 × 2 - 1) × π
    -0.079315185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24917600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641876220703125 × 2 - 1) × π
    -0.28375244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.891434585334564
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24917600} λ = -0.24917600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.891434585334564))-π/2
    2×atan(0.410067054401866)-π/2
    2×0.38915463438003-π/2
    0.778309268760061-1.57079632675     		φ = -0.79248706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24917600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.276733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79248706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.406164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30169 KachelY 42066 -0.24917600 -0.79248706 -14.276733 -45.406164
    Oben rechts KachelX + 1 30170 KachelY 42066 -0.24908013 -0.79248706 -14.271240 -45.406164
    Unten links KachelX 30169 KachelY + 1 42067 -0.24917600 -0.79255437 -14.276733 -45.410020
    Unten rechts KachelX + 1 30170 KachelY + 1 42067 -0.24908013 -0.79255437 -14.271240 -45.410020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79248706--0.79255437) × R
    6.73099999999316e-05 × 6371000     		dl = 428.832009999564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79248706--0.79255437) × R
    6.73099999999316e-05 × 6371000     		dr = 428.832009999564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24917600--0.24908013) × cos(-0.79248706) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.702076449458818 × 6371000     		do = 428.81970893446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24917600--0.24908013) × cos(-0.79255437) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.702028516311131 × 6371000     		du = 428.790431954075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79248706)-sin(-0.79255437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702076449458818-0.702028516311131)×R²
    abs(-0.24908013--0.24917600)×4.79331476869183e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79331476869183e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79331476869183e-05×40589641000000     		ar = 183885.34032617m²