Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30169 / 15049
↖ ↑ ↗
← N 69.269764°
W 14.276733°		 ← 216.20 m → N 69.269764°
W 14.271240°		 →
↑
216.23 m
↓
↑
216.23 m
↓
N 69.267820°
W 14.276733°		 ← 216.22 m →
46 751 m²		 N 69.267820°
W 14.271240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460350036621094 y=0.229637145996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460350036621094 × 216)
    floor (0.460350036621094 × 65536)
    floor (30169.5)     		tx = 30169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229637145996094 × 216)
    floor (0.229637145996094 × 65536)
    floor (15049.5)     		ty = 15049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30169 / 15049 ti = "16/30169/15049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30169/15049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30169 ÷ 216
    30169 ÷ 65536     		x = 0.460342407226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15049 ÷ 216
    15049 ÷ 65536     		y = 0.229629516601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460342407226562 × 2 - 1) × π
    -0.079315185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24917600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229629516601562 × 2 - 1) × π
    0.540740966796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.69878784873555
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24917600} λ = -0.24917600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69878784873555))-π/2
    2×atan(5.46731615931511)-π/2
    2×1.38989089338969-π/2
    2.77978178677939-1.57079632675     		φ = 1.20898546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24917600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.276733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20898546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.269764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30169 KachelY 15049 -0.24917600 1.20898546 -14.276733 69.269764
    Oben rechts KachelX + 1 30170 KachelY 15049 -0.24908013 1.20898546 -14.271240 69.269764
    Unten links KachelX 30169 KachelY + 1 15050 -0.24917600 1.20895152 -14.276733 69.267820
    Unten rechts KachelX + 1 30170 KachelY + 1 15050 -0.24908013 1.20895152 -14.271240 69.267820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20898546-1.20895152) × R
    3.39400000000101e-05 × 6371000     		dl = 216.231740000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20898546-1.20895152) × R
    3.39400000000101e-05 × 6371000     		dr = 216.231740000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24917600--0.24908013) × cos(1.20898546) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.353968439234806 × 6371000     		do = 216.199593650603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24917600--0.24908013) × cos(1.20895152) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.35400018166599 × 6371000     		du = 216.21898153936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20898546)-sin(1.20895152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353968439234806-0.35400018166599)×R²
    abs(-0.24908013--0.24917600)×3.17424311847558e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.17424311847558e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.17424311847558e-05×40589641000000     		ar = 46751.310465384m²