Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30168 / 42051
↖ ↑ ↗
← S 45.348285°
W 14.282227°		 ← 429.30 m → S 45.348285°
W 14.276733°		 →
↑
429.28 m
↓
↑
429.28 m
↓
S 45.352145°
W 14.282227°		 ← 429.27 m →
184 284 m²		 S 45.352145°
W 14.276733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460334777832031 y=0.641654968261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460334777832031 × 216)
    floor (0.460334777832031 × 65536)
    floor (30168.5)     		tx = 30168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641654968261719 × 216)
    floor (0.641654968261719 × 65536)
    floor (42051.5)     		ty = 42051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30168 / 42051 ti = "16/30168/42051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30168/42051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30168 ÷ 216
    30168 ÷ 65536     		x = 0.4603271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42051 ÷ 216
    42051 ÷ 65536     		y = 0.641647338867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4603271484375 × 2 - 1) × π
    -0.079345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24927188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641647338867188 × 2 - 1) × π
    -0.283294677734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.889996478345963
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24927188} λ = -0.24927188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.889996478345963))-π/2
    2×atan(0.410657198942382)-π/2
    2×0.389659723400648-π/2
    0.779319446801296-1.57079632675     		φ = -0.79147688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24927188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.282227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79147688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.348285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30168 KachelY 42051 -0.24927188 -0.79147688 -14.282227 -45.348285
    Oben rechts KachelX + 1 30169 KachelY 42051 -0.24917600 -0.79147688 -14.276733 -45.348285
    Unten links KachelX 30168 KachelY + 1 42052 -0.24927188 -0.79154426 -14.282227 -45.352145
    Unten rechts KachelX + 1 30169 KachelY + 1 42052 -0.24917600 -0.79154426 -14.276733 -45.352145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79147688--0.79154426) × R
    6.73799999999503e-05 × 6371000     		dl = 429.277979999683m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79147688--0.79154426) × R
    6.73799999999503e-05 × 6371000     		dr = 429.277979999683m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24927188--0.24917600) × cos(-0.79147688) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.702795441888049 × 6371000     		do = 429.303635814536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24927188--0.24917600) × cos(-0.79154426) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.702747506700268 × 6371000     		du = 429.274354534136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79147688)-sin(-0.79154426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702795441888049-0.702747506700268)×R²
    abs(-0.24917600--0.24927188)×4.79351877804568e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.79351877804568e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.79351877804568e-05×40589641000000     		ar = 184284.312754076m²