Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30168 / 19842
↖ ↑ ↗
← N 57.698277°
W 14.282227°		 ← 326.43 m → N 57.698277°
W 14.276733°		 →
↑
326.39 m
↓
↑
326.39 m
↓
N 57.695341°
W 14.282227°		 ← 326.45 m →
106 545 m²		 N 57.695341°
W 14.276733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460334777832031 y=0.302772521972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460334777832031 × 216)
    floor (0.460334777832031 × 65536)
    floor (30168.5)     		tx = 30168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302772521972656 × 216)
    floor (0.302772521972656 × 65536)
    floor (19842.5)     		ty = 19842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30168 / 19842 ti = "16/30168/19842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30168/19842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30168 ÷ 216
    30168 ÷ 65536     		x = 0.4603271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19842 ÷ 216
    19842 ÷ 65536     		y = 0.302764892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4603271484375 × 2 - 1) × π
    -0.079345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24927188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302764892578125 × 2 - 1) × π
    0.39447021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.23926472897769
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24927188} λ = -0.24927188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23926472897769))-π/2
    2×atan(3.45307358618172)-π/2
    2×1.28891061535999-π/2
    2.57782123071998-1.57079632675     		φ = 1.00702490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24927188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.282227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00702490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.698277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30168 KachelY 19842 -0.24927188 1.00702490 -14.282227 57.698277
    Oben rechts KachelX + 1 30169 KachelY 19842 -0.24917600 1.00702490 -14.276733 57.698277
    Unten links KachelX 30168 KachelY + 1 19843 -0.24927188 1.00697367 -14.282227 57.695341
    Unten rechts KachelX + 1 30169 KachelY + 1 19843 -0.24917600 1.00697367 -14.276733 57.695341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00702490-1.00697367) × R
    5.12299999999577e-05 × 6371000     		dl = 326.38632999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00702490-1.00697367) × R
    5.12299999999577e-05 × 6371000     		dr = 326.38632999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24927188--0.24917600) × cos(1.00702490) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.534377773272245 × 6371000     		do = 326.42545368243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24927188--0.24917600) × cos(1.00697367) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.53442107451129 × 6371000     		du = 326.451904308387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00702490)-sin(1.00697367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534377773272245-0.53442107451129)×R²
    abs(-0.24917600--0.24927188)×4.3301239044391e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.3301239044391e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.3301239044391e-05×40589641000000     		ar = 106545.122430471m²