Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30167 / 19843
↖ ↑ ↗
← N 57.695341°
W 14.287720°		 ← 326.42 m → N 57.695341°
W 14.282227°		 →
↑
326.45 m
↓
↑
326.45 m
↓
N 57.692406°
W 14.287720°		 ← 326.44 m →
106 563 m²		 N 57.692406°
W 14.282227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460319519042969 y=0.302787780761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460319519042969 × 216)
    floor (0.460319519042969 × 65536)
    floor (30167.5)     		tx = 30167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302787780761719 × 216)
    floor (0.302787780761719 × 65536)
    floor (19843.5)     		ty = 19843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30167 / 19843 ti = "16/30167/19843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30167/19843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30167 ÷ 216
    30167 ÷ 65536     		x = 0.460311889648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19843 ÷ 216
    19843 ÷ 65536     		y = 0.302780151367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460311889648438 × 2 - 1) × π
    -0.079376220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24936775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302780151367188 × 2 - 1) × π
    0.394439697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.23916885517845
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24936775} λ = -0.24936775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23916885517845))-π/2
    2×atan(3.45274254276741)-π/2
    2×1.28888499790852-π/2
    2.57776999581703-1.57079632675     		φ = 1.00697367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24936775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.287720°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00697367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.695341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30167 KachelY 19843 -0.24936775 1.00697367 -14.287720 57.695341
    Oben rechts KachelX + 1 30168 KachelY 19843 -0.24927188 1.00697367 -14.282227 57.695341
    Unten links KachelX 30167 KachelY + 1 19844 -0.24936775 1.00692243 -14.287720 57.692406
    Unten rechts KachelX + 1 30168 KachelY + 1 19844 -0.24927188 1.00692243 -14.282227 57.692406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00697367-1.00692243) × R
    5.1240000000119e-05 × 6371000     		dl = 326.450040000758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00697367-1.00692243) × R
    5.1240000000119e-05 × 6371000     		dr = 326.450040000758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24936775--0.24927188) × cos(1.00697367) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.53442107451129 × 6371000     		do = 326.417856341747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24936775--0.24927188) × cos(1.00692243) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.534464382799649 × 6371000     		du = 326.444308514617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00697367)-sin(1.00692243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.53442107451129-0.534464382799649)×R²
    abs(-0.24927188--0.24936775)×4.33082883595226e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.33082883595226e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.33082883595226e-05×40589641000000     		ar = 106563.439939706m²