Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30166 / 20222
↖ ↑ ↗
← N 56.565536°
W 14.293213°		 ← 336.57 m → N 56.565536°
W 14.287720°		 →
↑
336.58 m
↓
↑
336.58 m
↓
N 56.562509°
W 14.293213°		 ← 336.60 m →
113 287 m²		 N 56.562509°
W 14.287720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460304260253906 y=0.308570861816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460304260253906 × 216)
    floor (0.460304260253906 × 65536)
    floor (30166.5)     		tx = 30166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308570861816406 × 216)
    floor (0.308570861816406 × 65536)
    floor (20222.5)     		ty = 20222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30166 / 20222 ti = "16/30166/20222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30166/20222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30166 ÷ 216
    30166 ÷ 65536     		x = 0.460296630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20222 ÷ 216
    20222 ÷ 65536     		y = 0.308563232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460296630859375 × 2 - 1) × π
    -0.07940673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24946363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308563232421875 × 2 - 1) × π
    0.38287353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.20283268526645
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24946363} λ = -0.24946363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20283268526645))-π/2
    2×atan(3.32953510209772)-π/2
    2×1.27902558871235-π/2
    2.55805117742471-1.57079632675     		φ = 0.98725485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24946363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.293213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98725485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.565536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30166 KachelY 20222 -0.24946363 0.98725485 -14.293213 56.565536
    Oben rechts KachelX + 1 30167 KachelY 20222 -0.24936775 0.98725485 -14.287720 56.565536
    Unten links KachelX 30166 KachelY + 1 20223 -0.24946363 0.98720202 -14.293213 56.562509
    Unten rechts KachelX + 1 30167 KachelY + 1 20223 -0.24936775 0.98720202 -14.287720 56.562509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98725485-0.98720202) × R
    5.28300000000037e-05 × 6371000     		dl = 336.579930000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98725485-0.98720202) × R
    5.28300000000037e-05 × 6371000     		dr = 336.579930000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24946363--0.24936775) × cos(0.98725485) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.550982806993721 × 6371000     		do = 336.568663106643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24946363--0.24936775) × cos(0.98720202) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.551026893736486 × 6371000     		du = 336.59559355871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98725485)-sin(0.98720202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550982806993721-0.551026893736486)×R²
    abs(-0.24936775--0.24946363)×4.40867427649039e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.40867427649039e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.40867427649039e-05×40589641000000     		ar = 113286.789219873m²