Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30166 / 15086
↖ ↑ ↗
← N 69.197702°
W 14.293213°		 ← 216.94 m → N 69.197702°
W 14.287720°		 →
↑
216.93 m
↓
↑
216.93 m
↓
N 69.195751°
W 14.293213°		 ← 216.96 m →
47 064 m²		 N 69.195751°
W 14.287720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460304260253906 y=0.230201721191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460304260253906 × 216)
    floor (0.460304260253906 × 65536)
    floor (30166.5)     		tx = 30166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230201721191406 × 216)
    floor (0.230201721191406 × 65536)
    floor (15086.5)     		ty = 15086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30166 / 15086 ti = "16/30166/15086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30166/15086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30166 ÷ 216
    30166 ÷ 65536     		x = 0.460296630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15086 ÷ 216
    15086 ÷ 65536     		y = 0.230194091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460296630859375 × 2 - 1) × π
    -0.07940673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24946363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230194091796875 × 2 - 1) × π
    0.53961181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69524051816367
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24946363} λ = -0.24946363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69524051816367))-π/2
    2×atan(5.4479561400526)-π/2
    2×1.38926202941824-π/2
    2.77852405883649-1.57079632675     		φ = 1.20772773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24946363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.293213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20772773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.197702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30166 KachelY 15086 -0.24946363 1.20772773 -14.293213 69.197702
    Oben rechts KachelX + 1 30167 KachelY 15086 -0.24936775 1.20772773 -14.287720 69.197702
    Unten links KachelX 30166 KachelY + 1 15087 -0.24946363 1.20769368 -14.293213 69.195751
    Unten rechts KachelX + 1 30167 KachelY + 1 15087 -0.24936775 1.20769368 -14.287720 69.195751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20772773-1.20769368) × R
    3.40500000000077e-05 × 6371000     		dl = 216.932550000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20772773-1.20769368) × R
    3.40500000000077e-05 × 6371000     		dr = 216.932550000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24946363--0.24936775) × cos(1.20772773) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.355144460205279 × 6371000     		do = 216.940519130179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24946363--0.24936775) × cos(1.20769368) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.355176290328637 × 6371000     		du = 216.959962608141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20772773)-sin(1.20769368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355144460205279-0.355176290328637)×R²
    abs(-0.24936775--0.24946363)×3.18301233573348e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.18301233573348e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.18301233573348e-05×40589641000000     		ar = 47063.568979793m²