Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30166 / 15069
↖ ↑ ↗
← N 69.230842°
W 14.293213°		 ← 216.61 m → N 69.230842°
W 14.287720°		 →
↑
216.61 m
↓
↑
216.61 m
↓
N 69.228894°
W 14.293213°		 ← 216.63 m →
46 923 m²		 N 69.228894°
W 14.287720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460304260253906 y=0.229942321777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460304260253906 × 216)
    floor (0.460304260253906 × 65536)
    floor (30166.5)     		tx = 30166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229942321777344 × 216)
    floor (0.229942321777344 × 65536)
    floor (15069.5)     		ty = 15069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30166 / 15069 ti = "16/30166/15069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30166/15069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30166 ÷ 216
    30166 ÷ 65536     		x = 0.460296630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15069 ÷ 216
    15069 ÷ 65536     		y = 0.229934692382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460296630859375 × 2 - 1) × π
    -0.07940673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24946363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229934692382812 × 2 - 1) × π
    0.540130615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.69687037275075
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24946363} λ = -0.24946363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69687037275075))-π/2
    2×atan(5.45684275633662)-π/2
    2×1.38955122594749-π/2
    2.77910245189498-1.57079632675     		φ = 1.20830613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24946363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.293213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20830613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.230842°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30166 KachelY 15069 -0.24946363 1.20830613 -14.293213 69.230842
    Oben rechts KachelX + 1 30167 KachelY 15069 -0.24936775 1.20830613 -14.287720 69.230842
    Unten links KachelX 30166 KachelY + 1 15070 -0.24946363 1.20827213 -14.293213 69.228894
    Unten rechts KachelX + 1 30167 KachelY + 1 15070 -0.24936775 1.20827213 -14.287720 69.228894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20830613-1.20827213) × R
    3.39999999998675e-05 × 6371000     		dl = 216.613999999156m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20830613-1.20827213) × R
    3.39999999998675e-05 × 6371000     		dr = 216.613999999156m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24946363--0.24936775) × cos(1.20830613) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.354603705897295 × 6371000     		do = 216.610198560831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24946363--0.24936775) × cos(1.20827213) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.354635496259809 × 6371000     		du = 216.629617750822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20830613)-sin(1.20827213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354603705897295-0.354635496259809)×R²
    abs(-0.24936775--0.24946363)×3.17903625143279e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.17903625143279e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.17903625143279e-05×40589641000000     		ar = 46922.9047896977m²