Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30164 / 21580
↖ ↑ ↗
← N 76.135063°
W 97.152099°		 ← 73.18 m → N 76.135063°
W 97.149353°		 →
↑
73.20 m
↓
↑
73.20 m
↓
N 76.134404°
W 97.152099°		 ← 73.18 m →
5 357 m²		 N 76.134404°
W 97.149353°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.230136871337891 y=0.164646148681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.230136871337891 × 217)
    floor (0.230136871337891 × 131072)
    floor (30164.5)     		tx = 30164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164646148681641 × 217)
    floor (0.164646148681641 × 131072)
    floor (21580.5)     		ty = 21580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30164 / 21580 ti = "17/30164/21580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30164/21580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30164 ÷ 217
    30164 ÷ 131072     		x = 0.230133056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21580 ÷ 217
    21580 ÷ 131072     		y = 0.164642333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.230133056640625 × 2 - 1) × π
    -0.53973388671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.69562401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164642333984375 × 2 - 1) × π
    0.67071533203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.10711435969919
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69562401} λ = -1.69562401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10711435969919))-π/2
    2×atan(8.22447413537904)-π/2
    2×1.44980192248862-π/2
    2.89960384497725-1.57079632675     		φ = 1.32880752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69562401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.152099°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32880752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.135063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30164 KachelY 21580 -1.69562401 1.32880752 -97.152099 76.135063
    Oben rechts KachelX + 1 30165 KachelY 21580 -1.69557608 1.32880752 -97.149353 76.135063
    Unten links KachelX 30164 KachelY + 1 21581 -1.69562401 1.32879603 -97.152099 76.134404
    Unten rechts KachelX + 1 30165 KachelY + 1 21581 -1.69557608 1.32879603 -97.149353 76.134404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32880752-1.32879603) × R
    1.14900000001139e-05 × 6371000     		dl = 73.2027900007257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32880752-1.32879603) × R
    1.14900000001139e-05 × 6371000     		dr = 73.2027900007257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69562401--1.69557608) × cos(1.32880752) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.239633958619488 × 6371000     		do = 73.1751120610275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69562401--1.69557608) × cos(1.32879603) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.239645113823096 × 6371000     		du = 73.1785184366465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32880752)-sin(1.32879603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239633958619488-0.239645113823096)×R²
    abs(-1.69557608--1.69562401)×1.11552036086149e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.11552036086149e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.11552036086149e-05×40589641000000     		ar = 5356.74703971155m²