Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30161 / 19981
↖ ↑ ↗
← N 57.287949°
W 14.320678°		 ← 330.08 m → N 57.287949°
W 14.315185°		 →
↑
330.08 m
↓
↑
330.08 m
↓
N 57.284981°
W 14.320678°		 ← 330.11 m →
108 958 m²		 N 57.284981°
W 14.315185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460227966308594 y=0.304893493652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460227966308594 × 216)
    floor (0.460227966308594 × 65536)
    floor (30161.5)     		tx = 30161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304893493652344 × 216)
    floor (0.304893493652344 × 65536)
    floor (19981.5)     		ty = 19981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30161 / 19981 ti = "16/30161/19981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30161/19981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30161 ÷ 216
    30161 ÷ 65536     		x = 0.460220336914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19981 ÷ 216
    19981 ÷ 65536     		y = 0.304885864257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460220336914062 × 2 - 1) × π
    -0.079559326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24994299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304885864257812 × 2 - 1) × π
    0.390228271484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.22593827088332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24994299} λ = -0.24994299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22593827088332))-π/2
    2×atan(3.40736161160966)-π/2
    2×1.28532983490086-π/2
    2.57065966980172-1.57079632675     		φ = 0.99986334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24994299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.320678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99986334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.287949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30161 KachelY 19981 -0.24994299 0.99986334 -14.320678 57.287949
    Oben rechts KachelX + 1 30162 KachelY 19981 -0.24984712 0.99986334 -14.315185 57.287949
    Unten links KachelX 30161 KachelY + 1 19982 -0.24994299 0.99981153 -14.320678 57.284981
    Unten rechts KachelX + 1 30162 KachelY + 1 19982 -0.24984712 0.99981153 -14.315185 57.284981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99986334-0.99981153) × R
    5.18099999999855e-05 × 6371000     		dl = 330.081509999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99986334-0.99981153) × R
    5.18099999999855e-05 × 6371000     		dr = 330.081509999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24994299--0.24984712) × cos(0.99986334) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.540417296247235 × 6371000     		do = 330.080275244271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24994299--0.24984712) × cos(0.99981153) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.540460888307684 × 6371000     		du = 330.106900741662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99986334)-sin(0.99981153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540417296247235-0.540460888307684)×R²
    abs(-0.24984712--0.24994299)×4.3592060449793e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.3592060449793e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.3592060449793e-05×40589641000000     		ar = 108957.789990591m²