Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30160 / 19888
↖ ↑ ↗
← N 57.562996°
W 14.326172°		 ← 327.64 m → N 57.562996°
W 14.320678°		 →
↑
327.66 m
↓
↑
327.66 m
↓
N 57.560049°
W 14.326172°		 ← 327.67 m →
107 360 m²		 N 57.560049°
W 14.320678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460212707519531 y=0.303474426269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460212707519531 × 216)
    floor (0.460212707519531 × 65536)
    floor (30160.5)     		tx = 30160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303474426269531 × 216)
    floor (0.303474426269531 × 65536)
    floor (19888.5)     		ty = 19888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30160 / 19888 ti = "16/30160/19888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30160/19888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30160 ÷ 216
    30160 ÷ 65536     		x = 0.460205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19888 ÷ 216
    19888 ÷ 65536     		y = 0.303466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460205078125 × 2 - 1) × π
    -0.07958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25003887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303466796875 × 2 - 1) × π
    0.39306640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.23485453421265
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25003887} λ = -0.25003887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23485453421265))-π/2
    2×atan(3.43787839064318)-π/2
    2×1.28773006242641-π/2
    2.57546012485282-1.57079632675     		φ = 1.00466380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25003887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.326172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00466380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.562996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30160 KachelY 19888 -0.25003887 1.00466380 -14.326172 57.562996
    Oben rechts KachelX + 1 30161 KachelY 19888 -0.24994299 1.00466380 -14.320678 57.562996
    Unten links KachelX 30160 KachelY + 1 19889 -0.25003887 1.00461237 -14.326172 57.560049
    Unten rechts KachelX + 1 30161 KachelY + 1 19889 -0.24994299 1.00461237 -14.320678 57.560049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00466380-1.00461237) × R
    5.14300000000745e-05 × 6371000     		dl = 327.660530000474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00466380-1.00461237) × R
    5.14300000000745e-05 × 6371000     		dr = 327.660530000474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25003887--0.24994299) × cos(1.00466380) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.536371991660691 × 6371000     		do = 327.64362493655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25003887--0.24994299) × cos(1.00461237) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.536415396929427 × 6371000     		du = 327.670139109197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00466380)-sin(1.00461237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.536371991660691-0.536415396929427)×R²
    abs(-0.24994299--0.25003887)×4.34052687358077e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.34052687358077e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.34052687358077e-05×40589641000000     		ar = 107360.227645734m²