Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30160 / 19829
↖ ↑ ↗
← N 57.736417°
W 14.326172°		 ← 326.08 m → N 57.736417°
W 14.320678°		 →
↑
326.07 m
↓
↑
326.07 m
↓
N 57.733485°
W 14.326172°		 ← 326.11 m →
106 329 m²		 N 57.733485°
W 14.320678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460212707519531 y=0.302574157714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460212707519531 × 216)
    floor (0.460212707519531 × 65536)
    floor (30160.5)     		tx = 30160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302574157714844 × 216)
    floor (0.302574157714844 × 65536)
    floor (19829.5)     		ty = 19829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30160 / 19829 ti = "16/30160/19829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30160/19829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30160 ÷ 216
    30160 ÷ 65536     		x = 0.460205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19829 ÷ 216
    19829 ÷ 65536     		y = 0.302566528320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460205078125 × 2 - 1) × π
    -0.07958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25003887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302566528320312 × 2 - 1) × π
    0.394866943359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.24051108836781
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25003887} λ = -0.25003887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24051108836781))-π/2
    2×atan(3.45738004000775)-π/2
    2×1.28924345336125-π/2
    2.57848690672249-1.57079632675     		φ = 1.00769058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25003887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.326172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00769058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.736417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30160 KachelY 19829 -0.25003887 1.00769058 -14.326172 57.736417
    Oben rechts KachelX + 1 30161 KachelY 19829 -0.24994299 1.00769058 -14.320678 57.736417
    Unten links KachelX 30160 KachelY + 1 19830 -0.25003887 1.00763940 -14.326172 57.733485
    Unten rechts KachelX + 1 30161 KachelY + 1 19830 -0.24994299 1.00763940 -14.320678 57.733485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00769058-1.00763940) × R
    5.11800000000395e-05 × 6371000     		dl = 326.067780000252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00769058-1.00763940) × R
    5.11800000000395e-05 × 6371000     		dr = 326.067780000252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25003887--0.24994299) × cos(1.00769058) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.533814991716664 × 6371000     		do = 326.081677736381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25003887--0.24994299) × cos(1.00763940) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.533858268891924 × 6371000     		du = 326.108113662939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00769058)-sin(1.00763940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533814991716664-0.533858268891924)×R²
    abs(-0.24994299--0.25003887)×4.32771752604255e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.32771752604255e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.32771752604255e-05×40589641000000     		ar = 106329.038733496m²