Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30159 / 41585
↖ ↑ ↗
← S 43.520672°
W 14.331665°		 ← 442.90 m → S 43.520672°
W 14.326172°		 →
↑
442.91 m
↓
↑
442.91 m
↓
S 43.524655°
W 14.331665°		 ← 442.87 m →
196 158 m²		 S 43.524655°
W 14.326172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460197448730469 y=0.634544372558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460197448730469 × 216)
    floor (0.460197448730469 × 65536)
    floor (30159.5)     		tx = 30159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634544372558594 × 216)
    floor (0.634544372558594 × 65536)
    floor (41585.5)     		ty = 41585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30159 / 41585 ti = "16/30159/41585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30159/41585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30159 ÷ 216
    30159 ÷ 65536     		x = 0.460189819335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41585 ÷ 216
    41585 ÷ 65536     		y = 0.634536743164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460189819335938 × 2 - 1) × π
    -0.079620361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25013474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634536743164062 × 2 - 1) × π
    -0.269073486328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.84531928790007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25013474} λ = -0.25013474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.84531928790007))-π/2
    2×atan(0.429420227637108)-π/2
    2×0.405608654717348-π/2
    0.811217309434696-1.57079632675     		φ = -0.75957902
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25013474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.331665°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75957902 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.520672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30159 KachelY 41585 -0.25013474 -0.75957902 -14.331665 -43.520672
    Oben rechts KachelX + 1 30160 KachelY 41585 -0.25003887 -0.75957902 -14.326172 -43.520672
    Unten links KachelX 30159 KachelY + 1 41586 -0.25013474 -0.75964854 -14.331665 -43.524655
    Unten rechts KachelX + 1 30160 KachelY + 1 41586 -0.25003887 -0.75964854 -14.326172 -43.524655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75957902--0.75964854) × R
    6.95200000000451e-05 × 6371000     		dl = 442.911920000287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75957902--0.75964854) × R
    6.95200000000451e-05 × 6371000     		dr = 442.911920000287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25013474--0.25003887) × cos(-0.75957902) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.725125968653076 × 6371000     		do = 442.898073362692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25013474--0.25003887) × cos(-0.75964854) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.72507809429965 × 6371000     		du = 442.868832293123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75957902)-sin(-0.75964854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725125968653076-0.72507809429965)×R²
    abs(-0.25003887--0.25013474)×4.78743534255699e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78743534255699e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78743534255699e-05×40589641000000     		ar = 196158.360507496m²