Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30159 / 20211
↖ ↑ ↗
← N 56.598815°
W 14.331665°		 ← 336.24 m → N 56.598815°
W 14.326172°		 →
↑
336.26 m
↓
↑
336.26 m
↓
N 56.595791°
W 14.331665°		 ← 336.26 m →
113 068 m²		 N 56.595791°
W 14.326172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460197448730469 y=0.308403015136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460197448730469 × 216)
    floor (0.460197448730469 × 65536)
    floor (30159.5)     		tx = 30159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308403015136719 × 216)
    floor (0.308403015136719 × 65536)
    floor (20211.5)     		ty = 20211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30159 / 20211 ti = "16/30159/20211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30159/20211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30159 ÷ 216
    30159 ÷ 65536     		x = 0.460189819335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20211 ÷ 216
    20211 ÷ 65536     		y = 0.308395385742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460189819335938 × 2 - 1) × π
    -0.079620361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25013474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308395385742188 × 2 - 1) × π
    0.383209228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.20388729705809
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25013474} λ = -0.25013474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20388729705809))-π/2
    2×atan(3.33304832129265)-π/2
    2×1.27931599736659-π/2
    2.55863199473318-1.57079632675     		φ = 0.98783567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25013474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.331665°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98783567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.598815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30159 KachelY 20211 -0.25013474 0.98783567 -14.331665 56.598815
    Oben rechts KachelX + 1 30160 KachelY 20211 -0.25003887 0.98783567 -14.326172 56.598815
    Unten links KachelX 30159 KachelY + 1 20212 -0.25013474 0.98778289 -14.331665 56.595791
    Unten rechts KachelX + 1 30160 KachelY + 1 20212 -0.25003887 0.98778289 -14.326172 56.595791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98783567-0.98778289) × R
    5.27800000000855e-05 × 6371000     		dl = 336.261380000545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98783567-0.98778289) × R
    5.27800000000855e-05 × 6371000     		dr = 336.261380000545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25013474--0.25003887) × cos(0.98783567) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.550498010155053 × 6371000     		do = 336.237452012035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25013474--0.25003887) × cos(0.98778289) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.55054207205744 × 6371000     		du = 336.264364483136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98783567)-sin(0.98778289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550498010155053-0.55054207205744)×R²
    abs(-0.25003887--0.25013474)×4.40619023872602e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.40619023872602e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.40619023872602e-05×40589641000000     		ar = 113068.194460091m²